Въпрос за една граница

[ferry2]

Искам да попитам това решение дали е вярно?

[Реклама]

[Mandos]

Не може да е вярно - границата зависи от параматера a. Трябва да го погледна по-подробно.

[Mandos]

Ето какво измъдрих на хартия:
[tex]\lim_{x\to\ a}\left ( \frac{tan(x)}{tan(a)} \right)^{\frac{1}{ln(x)-ln(a)}} = e^{\lim_{x\to\ a} \frac{ln \left (\frac{tan(x)}{tan(a)} \right )}{ln \left ( \frac{x}{a} \right )}[/tex] До тука е добре. После обаче, това на картинката не го схващам как става. Но тука в израза в степента може да се използва правилото на Л'Хоппитал:
След диференцирането на числителя и знаменателя получаваме:
[tex]\lim_{x\to\ a }\frac{\frac{1}{sinx cosx}}{\frac{1}{x}} = \lim_{x\to\ a } \frac{x}{cosx sin x} = \frac {a}{cos(a)sin(a)};[/tex] И voila имаме: [tex]\lim_{x\to\ a}\left ( \frac{tan(x)}{tan(a)} \right)^{\frac{1}{ln(x)-ln(a)}} = e^{\frac{a}{cos(a)sin(a)}[/tex]

[ferry2]

Благодаря ти много ! Аз се бях опитал да я реша с асимптотични равенства, за да не използвам производни!