Предишната тема :: Следващата тема |
Автор |
Съобщение |
ганка симеонова SUPER VIP
Регистриран на: 10 Jan 2008 Мнения: 5985 Местожителство: софия гласове: 298
|
Пуснато на: Thu Mar 05, 2009 6:38 pm Заглавие: Минимален ъгъл |
|
|
Даден е равнобедрен правоъгълен триъгълник АВС с хипотенуза АВ=2. Точките М и N са от хипотенузата, така че [tex]MN=3-\sqrt{3} [/tex]. Да се намери най- малката стойност на [tex]\angle MCN [/tex]
|
|
Върнете се в началото |
|
|
Реклама
|
Пуснато на: Заглавие: Реклама |
|
|
|
|
Върнете се в началото |
|
|
estoyanovvd Фен на форума
Регистриран на: 19 Sep 2006 Мнения: 764 Местожителство: Видин гласове: 67
|
Пуснато на: Thu Mar 05, 2009 6:49 pm Заглавие: |
|
|
Скоро я даваха по състезанията!
|
|
Върнете се в началото |
|
|
NoThanks Гост
|
Пуснато на: Thu Mar 05, 2009 7:01 pm Заглавие: |
|
|
Означаваме BN=x; [tex]AM=\sqrt{3}-1-x \; x<\sqrt{3}-1 \; MN=3-\sqrt{3}[/tex]Сега с 2 теореми на Стюърт намираме CM и CN, откъдето и [tex]\angle{MCN}[/tex] чрез косинусова теорема. Правим си производната и намираме ъгъла.
Друг(по-лесен) начин за намиране на CM и CN е чрез косинусови теореми, като можем да изразим косинус алфа и косинус бета чрез тригонометрични зависимости от големия правоъгълн 3ъгълник.
|
|
Върнете се в началото |
|
|
estoyanovvd Фен на форума
Регистриран на: 19 Sep 2006 Мнения: 764 Местожителство: Видин гласове: 67
|
Пуснато на: Thu Mar 05, 2009 7:21 pm Заглавие: |
|
|
[tex]\frac{CM.CNsin\varphi }{2 } =\frac{3-\sqrt{3} }{2 } \Rightarrow sin\varphi =\frac{3-\sqrt{3} }{ CM.CN} \ge \frac{3-\sqrt{3} }{ \frac{CM^{2}+CN^{2}}{ 2} }=\frac{3-\sqrt{3} }{\frac{1^{2}+x^{2}+1^{2}+(3-\sqrt{3}-x )^{2}}{ 2} } [/tex]
След това си намираме максимума на знаменателя! Хикс е дължината на отсечката MH, където Н е петата на перпендикуляра, спуснат от С към АВ. Използвал съм и неравенството между средно геометрично и средно квадратично, а също и две питагорови теореми!
За да не се бъзика Ганка с мен ще допълня, че това решение си е лично мое!
|
|
Върнете се в началото |
|
|
estoyanovvd Фен на форума
Регистриран на: 19 Sep 2006 Мнения: 764 Местожителство: Видин гласове: 67
|
Пуснато на: Thu Mar 05, 2009 7:28 pm Заглавие: |
|
|
Благодаря ви все пак, че ме изчакахте да си поправя някои грешчици!!!
|
|
Върнете се в началото |
|
|
r2d2 VIP
Регистриран на: 28 Feb 2007 Мнения: 1936 Местожителство: in the galaxy (Far Far Away) гласове: 179
|
Пуснато на: Fri Mar 06, 2009 10:52 am Заглавие: |
|
|
Нека [tex]MN=a>1[/tex]. Oзначаваме [tex]CH=x, \; x \in [a-1;1][/tex].
Имаме [tex]\tan \mu =x; \;\tan \nu =a-x; \; \tan(\mu+\nu)=\frac {\tan \mu +\tan \nu}{1-\tan \mu \tan \nu}=\frac{a}{1-x(a-x)}[/tex].
Ъгълът ще е минимален когато знаменателят е най-голям, т.е. когато [tex]x(a-x) [/tex] е най-малко. Върхът на квадратната функция е в а/2, най-малка тя е най-далече от върха, т.е. при x=1 и при x=a-1.
Mинималният ъгъл има тангенс [tex]\tan(\mu+\nu)=\frac{a}{2-a}[/tex].
При [tex]a=3-\sqrt{3}[/tex] получаваме [tex]\tan MCN=\sqrt{3} \Rightarrow \angle MCN=60^\circ[/tex].
Условието а>1 е съществено, при а<=1, минималният ъгъл се получава при х=0.
Description: |
|
Големина на файла: |
9.15 KB |
Видяна: |
849 пъти(s) |
|
|
|
Върнете се в началото |
|
|
estoyanovvd Фен на форума
Регистриран на: 19 Sep 2006 Мнения: 764 Местожителство: Видин гласове: 67
|
Пуснато на: Fri Mar 06, 2009 1:39 pm Заглавие: |
|
|
Дааааа, така е! И в моето решение трябва да се отбележи интервала в който се мени хиксът и той е [tex][2-\sqrt{3} ;1][/tex].
|
|
Върнете се в началото |
|
|
|