Регистрирайте сеРегистрирайте се

Минимален ъгъл


 
   Форум за математика Форуми -> Геометрия
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
ганка симеонова
SUPER VIP


Регистриран на: 10 Jan 2008
Мнения: 5985
Местожителство: софия
Репутация: 618.5Репутация: 618.5Репутация: 618.5
гласове: 298

МнениеПуснато на: Thu Mar 05, 2009 6:38 pm    Заглавие: Минимален ъгъл

Даден е равнобедрен правоъгълен триъгълник АВС с хипотенуза АВ=2. Точките М и N са от хипотенузата, така че [tex]MN=3-\sqrt{3} [/tex]. Да се намери най- малката стойност на [tex]\angle MCN [/tex]
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
estoyanovvd
Фен на форума


Регистриран на: 19 Sep 2006
Мнения: 764
Местожителство: Видин
Репутация: 94.7Репутация: 94.7
гласове: 67

МнениеПуснато на: Thu Mar 05, 2009 6:49 pm    Заглавие:

Скоро я даваха по състезанията!
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение Посетете сайта на потребителя
NoThanks
Гост






МнениеПуснато на: Thu Mar 05, 2009 7:01 pm    Заглавие:

Означаваме BN=x; [tex]AM=\sqrt{3}-1-x \; x<\sqrt{3}-1 \; MN=3-\sqrt{3}[/tex]Сега с 2 теореми на Стюърт намираме CM и CN, откъдето и [tex]\angle{MCN}[/tex] чрез косинусова теорема. Правим си производната и намираме ъгъла.
Друг(по-лесен) начин за намиране на CM и CN е чрез косинусови теореми, като можем да изразим косинус алфа и косинус бета чрез тригонометрични зависимости от големия правоъгълн 3ъгълник.
Върнете се в началото
estoyanovvd
Фен на форума


Регистриран на: 19 Sep 2006
Мнения: 764
Местожителство: Видин
Репутация: 94.7Репутация: 94.7
гласове: 67

МнениеПуснато на: Thu Mar 05, 2009 7:21 pm    Заглавие:

[tex]\frac{CM.CNsin\varphi }{2 } =\frac{3-\sqrt{3} }{2 } \Rightarrow sin\varphi =\frac{3-\sqrt{3} }{ CM.CN} \ge \frac{3-\sqrt{3} }{ \frac{CM^{2}+CN^{2}}{ 2} }=\frac{3-\sqrt{3} }{\frac{1^{2}+x^{2}+1^{2}+(3-\sqrt{3}-x )^{2}}{ 2} } [/tex]

След това си намираме максимума на знаменателя! Хикс е дължината на отсечката MH, където Н е петата на перпендикуляра, спуснат от С към АВ. Използвал съм и неравенството между средно геометрично и средно квадратично, а също и две питагорови теореми!
За да не се бъзика Ганка с мен ще допълня, че това решение си е лично мое! Wink
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение Посетете сайта на потребителя
estoyanovvd
Фен на форума


Регистриран на: 19 Sep 2006
Мнения: 764
Местожителство: Видин
Репутация: 94.7Репутация: 94.7
гласове: 67

МнениеПуснато на: Thu Mar 05, 2009 7:28 pm    Заглавие:

Благодаря ви все пак, че ме изчакахте да си поправя някои грешчици!!! Laughing Laughing Laughing
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение Посетете сайта на потребителя
r2d2
VIP


Регистриран на: 28 Feb 2007
Мнения: 1936
Местожителство: in the galaxy (Far Far Away)
Репутация: 311.2Репутация: 311.2
гласове: 179

МнениеПуснато на: Fri Mar 06, 2009 10:52 am    Заглавие:

Нека [tex]MN=a>1[/tex]. Oзначаваме [tex]CH=x, \; x \in [a-1;1][/tex].

Имаме [tex]\tan \mu =x; \;\tan \nu =a-x; \; \tan(\mu+\nu)=\frac {\tan \mu +\tan \nu}{1-\tan \mu \tan \nu}=\frac{a}{1-x(a-x)}[/tex].

Ъгълът ще е минимален когато знаменателят е най-голям, т.е. когато [tex]x(a-x) [/tex] е най-малко. Върхът на квадратната функция е в а/2, най-малка тя е най-далече от върха, т.е. при x=1 и при x=a-1.

Mинималният ъгъл има тангенс [tex]\tan(\mu+\nu)=\frac{a}{2-a}[/tex].

При [tex]a=3-\sqrt{3}[/tex] получаваме [tex]\tan MCN=\sqrt{3} \Rightarrow \angle MCN=60^\circ[/tex].

Условието а>1 е съществено, при а<=1, минималният ъгъл се получава при х=0.



angle_cr.jpg
 Description:
 Големина на файла:  9.15 KB
 Видяна:  849 пъти(s)

angle_cr.jpg


Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
estoyanovvd
Фен на форума


Регистриран на: 19 Sep 2006
Мнения: 764
Местожителство: Видин
Репутация: 94.7Репутация: 94.7
гласове: 67

МнениеПуснато на: Fri Mar 06, 2009 1:39 pm    Заглавие:

Дааааа, така е! И в моето решение трябва да се отбележи интервала в който се мени хиксът и той е [tex][2-\sqrt{3} ;1][/tex].
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение Посетете сайта на потребителя
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Геометрия Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
Може да прикачвате файлове
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2021 math10.com.