Регистрирайте сеРегистрирайте се

Уравнение


 
   Форум за математика Форуми -> Триъгълници
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
Saposto_MM
Напреднал


Регистриран на: 02 Apr 2007
Мнения: 383
Местожителство: Панагюрище
Репутация: 124.4
гласове: 67

МнениеПуснато на: Wed Mar 04, 2009 6:16 pm    Заглавие: Уравнение

Даден е остроъгълен [tex]\Delta ABC[/tex]. [tex]CH[/tex]([tex]H\in AB[/tex]) е височина, [tex]CL[/tex]([tex]L\in AB[/tex]) е ъглополвяща, [tex]I[/tex] е център на вписаната в триъгълника окръжност, а [tex]O[/tex] е центъра на описаната окръжност. Да се реши уравнението [tex]ILx^{2}-CI.ABx+2OA.IL.CH=0[/tex].

Добрин Проданов
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
Пафнутий
VIP


Регистриран на: 04 Mar 2008
Мнения: 1199

Репутация: 137.7
гласове: 54

МнениеПуснато на: Wed Mar 04, 2009 6:18 pm    Заглавие:

Виет му е мамата Laughing
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Spider Iovkov
VIP


Регистриран на: 12 Jan 2007
Мнения: 1273

Репутация: 199.9Репутация: 199.9
гласове: 129

МнениеПуснато на: Wed Mar 04, 2009 9:12 pm    Заглавие:

Понеже [tex]I[/tex] е център на вписаната окръжност, то [tex]I \in AL[/tex]. Нека да означим [tex]BC=a, AC=b, \fbox {AB=c}[/tex]. Сега, понеже [tex]AL[/tex] е ъглополовяща, то ще е изпълнено [tex]\frac{AC}{AB}=\frac{LC}{LB} \Leftrightarrow \frac{LC}{LB}=\frac{b}{c} \Rightarrow LC=bx, LB=cx \Rightarrow (b+c)x=a \Leftrightarrow x=\frac{a}{b+c} \Rightarrow \fbox {LC=\frac{ab}{b+c}}, \fbox{LB=\frac{ac}{b+c}}[/tex]. Пресмятаме дължината на [tex]AL[/tex]:
[tex]AL^2=AC.AB-LC.LB \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow AL^2=bc-\frac{ab}{b+c}.\frac{ac}{b+c} \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow AL^2=bc-\frac{a^2bc}{(b+c)^2} \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow AL^2=\frac{(b+c)^2bc-a^2bc}{(b+c)^2} \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow AL^2=\frac{(b^2+2bc+c^2)bc-a^2bc}{(b+c)^2} \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow AL^2=\frac{b^3c+2b^2c^2+bc^3-a^2bc}{(b+c)^2} \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow AL^2=\frac{bc(b^2+2bc+c^2-a^2}{(b+c)^2} \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow AL^2=\frac{bc[(b+c)^2-a^2]}{(b+c)^2} \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \fbox {AL=\frac{\sqrt{bc(a+b+c)(b+c-a)}}{b+c}}[/tex].
От друга страна, [tex]CI[/tex] също е ъглополовяща и [tex]\Rightarrow \frac{CA}{CL}=\frac{IA}{IL} \Leftrightarrow \frac{IA}{IL}=\frac{\cancel b(b+c)}{a\cancel b} \Leftrightarrow \frac{IA}{IL}=\frac{b+c}{a} \Rightarrow IA=(b+c)x', IL=ax'[/tex]. Оттук получаваме [tex]IA+IL=AL \Leftrightarrow (a+b+c)x=\frac{\sqrt{bc(a+b+c)(b+c-a)}}{b+c} \Leftrightarrow x=\sqrt{\frac{bc\cancel {(a+b+c)}(b+c-a)}{(b+c)^2\cancel {(a+b+c)}(a+b+c)}} \Leftrightarrow x=\frac{1}{b+c}\sqrt{\frac{bc(b+c-a)}{a+b+c}} \Rightarrow \\ \Rightarrow \fbox {IA=\sqrt{\frac{bc(b+c-a)}{a+b+c}}}, \fbox {IL=\frac{a}{b+c}\sqrt{\frac{bc(b+c-a)}{a+b+c}}}[/tex].
Сега по формулата за дължина на ъглополовяща пресмятаме и [tex]CI[/tex]:
[tex]CI^2=AC.CL-IA.IL \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \frac{ab^2}{b+c}-\frac{a}{b+c}.\frac{bc(b+c-a)}{a+b+c} \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow CI^2=\frac{ab^2(a+b+c)-abc(b+c-a)}{(b+c)(a+b+c)} \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow CI^2=\frac{ab[b(a+b+c)-c(b+c-a)]}{(b+c)(a+b+c)} \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow CI^2=\frac{ab(ab+b^2+\cancel {bc}-\cancel {bc}-c^2+ac)}{(b+c)(a+b+c)} \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow CI^2=\frac{ab(ab+b^2-c^2+ac)}{(b+c)(a+b+c)} \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow CI^2=\frac{ab[a(b+c)+(b+c)(b-c)]}{(b+c)(a+b+c)} \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow CI^2=\frac{ab\cancel {(b+c)}(a+b-c)}{\cancel {(b+c)}(a+b+c)} \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \fbox {CI=\sqrt{\frac{ab(a+b-c)}{a+b+c}}}[/tex].
От косинусовата теорема за [tex]\triangle ABC[/tex] можем да запишем:
[tex]a^2=b^2+c^2-2bc cos\alpha \Leftrightarrow cos\alpha=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} \Rightarrow sin\alpha=\sqrt{1-cos^2\alpha} \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow sin\alpha=\sqrt{1^2-\frac{(b^2+c^2-a^2)^2}{(2bc)^2}} \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow sin\alpha=\sqrt{\frac{(2bc)^2-(b^2+c^2-a^2)}{(2bc)^2}} \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow sin\alpha=\frac{\sqrt{(2bc+b^2+c^2-a^2)(2bc-b^2-c^2+a^2)}}{2bc} \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow sin\alpha=\frac{[(b+c)^2-a^2][a^2-(b-c)^2]}{2bc} \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \fbox {sin\alpha=\frac{\sqrt{(a+b+c)(b+c-a)(a+b-c)(a-b+c}}{2bc}}[/tex].
Също така от синусовата теорема за същия триъгълник имаме [tex]\frac{a}{sin\alpha}=2R \Leftrightarrow R=\frac{a}{2 sin\alpha} \Rightarrow \fbox {OA=\frac{abc}{\sqrt{(a+b+c)(b+c-a)(a+b-c)(a-b+c)}}}[/tex].
Лицето на триъгълника се изчислява по формулите [tex]S=\frac{abc}{4R}[/tex] и [tex]S=\frac{ch_{c}}{2}[/tex], откъдето [tex]\frac{abc}{4R}=\frac{ch_{c}}{2} \Leftrightarrow \cancel 2ab\cancel c=\cancel 2.2R\cancel ch_{c} \Leftrightarrow h_{c}=\frac{ab}{2R} \Leftrightarrow \fbox {CH=\frac{\sqrt{(a+b+c)(b+c-a)(a+b-c)(a-b+c)}}{2c}}[/tex].
Като използваме, че [tex]a+b+c=2p; a+b-c=a+b+c-2c=2p-2c=2(p-c); a+c-b=a+c+b-2b=2p-2b=2(p-b);b+c-a=b+c+a-2a=2p-2a=2(p-a)[/tex], можем да разпишем горните изрази в оградените полета по малко по-различен начин:
[tex]AL=\frac{\sqrt{bc.2p.2(p-a)}}{b+c}=\frac{2}{b+c}\sqrt{p(p-a)bc};[/tex]
[tex]IA=\sqrt{\frac{bc.\cancel 2(p-a)}{\cancel 2p}}=\sqrt{\frac{bc(p-a)}{p}};[/tex]
[tex]IL=\frac{a}{b+c}\sqrt{\frac{bc.\cancel 2(p-a)}{\cancel 2p}}=\frac{a}{b+c}\sqrt{\frac{bc(p-a)}{p}};[/tex]
[tex]CI=\sqrt{\frac{ab.2(p-c)}{2p}}=\sqrt{\frac{ab(p-c)}{p}};[/tex]
[tex]OA=\frac{abc}{\sqrt{2p.2(p-a).2(p-b).2(p-c)}}=\frac{abc}{4\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}};[/tex]
[tex]CH=\frac{\sqrt{2p.2(p-a).2(p-b).2(p-c)}}{2c}=\frac{4\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{2c}=\frac{2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{c}[/tex].
Тогава уравнението, което трябва да решим, добива вида:
[tex]\frac{a}{b+c}\sqrt{\frac{bc(p-a)}{p}}x^2-\sqrt{\frac{ab(p-c)}{p}}.cx+\frac{2abc}{4\sqrt{p(p-a)(p=b)(p-c)}}.\frac{a}{b+c}\sqrt{\frac{bc(p-a)}{p}}.\frac{2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{c} \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \frac{a}{b+c}\sqrt{\frac{bc(p-a)}{p}}x^2-\sqrt{\frac{ab(p-c)}{p}}.cx+\frac{abc}{2S}.\frac{a}{b+c}.\sqrt{\frac{bc(p-a)}{p}}.\frac{2S}{c}=0 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \frac{a\sqrt{bc(p-a)}}{b+c}x^2-\sqrt{ab(p-c)}.cx+\frac{a^2bc\sqrt{bc(p-a)}}{(b+c)c}=0 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow ac\sqrt{bc(p-a)}x^2-(b+c)c^2\sqrt{ab(p-c)}+a^2bc\sqrt{bc(p-a)}=0 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow a\sqrt{c(p-a)}x^2-(b+c)c\sqrt{a(p-c)}x+a^2b\sqrt{c(p-a)}=0[/tex].
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Пафнутий
VIP


Регистриран на: 04 Mar 2008
Мнения: 1199

Репутация: 137.7
гласове: 54

МнениеПуснато на: Wed Mar 04, 2009 9:22 pm    Заглавие:

И?
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
NoThanks
Гост






МнениеПуснато на: Wed Mar 04, 2009 9:42 pm    Заглавие:

Ако целта е да се получи х чрез елементи на 3ъгълника, то уравнението се свежда до:
[tex]x^2-x(a+b)+\frac{ab}{2}=0[/tex] точно чрез 5 реда сметки. Предполагам обаче, че трябва да се получи някакво число?
Върнете се в началото
Saposto_MM
Напреднал


Регистриран на: 02 Apr 2007
Мнения: 383
Местожителство: Панагюрище
Репутация: 124.4
гласове: 67

МнениеПуснато на: Fri Mar 06, 2009 5:04 pm    Заглавие:

От решението на Емо не се изяснява в крайна сметка кой са корените. Ще кажа само, че корените на уравнението са отсечки.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
NoThanks
Гост






МнениеПуснато на: Fri Mar 06, 2009 5:29 pm    Заглавие:

Това условие е абсолютно неясно. Не е дадено нищо, иска се да се намери х, получава се отсечка. х може да се изрази по 5 начина Rolling Eyes ето този, за който бях постнал по-горе.
Разделяме уравнението на IL(очевидно различно от 0). Имаме:
[tex]x^2-\frac{CI}{IL}ABx+OA.CH=0[/tex] Но имаме:
[tex]\frac{IL}{IL+CI}=\frac{r}{h} => h.IL=r.IL+r.CI => IL(h-r)=r.CI => \frac{CI}{IL}=\frac{h-r}{r}[/tex]
=> [tex]x^2 - \frac{h-r}{r}ABx +Rh=0[/tex]
[tex]S_{ABC}=\frac{AB.h}{2}=\frac{a.b.c}{4R}=>h=\frac{ab}{2R}[/tex]
=>[tex]x^2-\frac{h-r}{r}cx+\frac{ab}{2}=0[/tex]
[tex]S=pr=hc/2 =>\frac{h}{r}=\frac{2p}{c}[/tex] Сега имаме:
[tex]x^2-\frac{h}{r}cx + cx+\frac{ab}{2} =0 \Leftrightarrow x^2-2px+cx+\frac{ab}{2}=0[/tex]
[tex]x^2-x(2p-c)+\frac{ab}{2}=0 \Leftrightarrow x^2-x(a+b)+\frac{ab}{2}=0[/tex]
[tex]x_{12}=\frac{a+b\pm\sqrt{a^2+b^2}}{2}[/tex]
Едит: Това докато го напиша си намерих поне 5-6 изчислителни грешки Laughing



asdasdasda.png
 Description:
 Големина на файла:  12.23 KB
 Видяна:  1069 пъти(s)

asdasdasda.png


Върнете се в началото
Пафнутий
VIP


Регистриран на: 04 Mar 2008
Мнения: 1199

Репутация: 137.7
гласове: 54

МнениеПуснато на: Fri Mar 06, 2009 6:20 pm    Заглавие:

Отговорът на NoThanks е грешен. Wink
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
NoThanks
Гост






МнениеПуснато на: Fri Mar 06, 2009 6:22 pm    Заглавие:

При всеки случай не е казано чрез какви елементи да се изрази, така че не знам как реши че е грешен(освен ако пак не съм сбъркал някой знак)
Върнете се в началото
NoThanks
Гост






МнениеПуснато на: Fri Mar 06, 2009 7:24 pm    Заглавие:

x=OI?
Върнете се в началото
Saposto_MM
Напреднал


Регистриран на: 02 Apr 2007
Мнения: 383
Местожителство: Панагюрище
Репутация: 124.4
гласове: 67

МнениеПуснато на: Fri Mar 06, 2009 9:58 pm    Заглавие:

Не!
Не си видял правилно условието. Свободният член в уравнението след деление на IL е 2R.h. Следователно уравнението се преобразува до [tex]x^{2}-x(a+b)+ab=0[/tex], откъдето [tex]D=\left(a-b\right)^2[/tex]. От тук [tex]x_{1,2}=\frac{a+b\pm \sqrt{\left(a-b\right)^2}}{2} [/tex] и корените са намерени.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Триъгълници Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
Може да прикачвате файлове
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2021 math10.com.