Регистрирайте се
Отношение от центъра на вписаната окръжност
|
Предишната тема :: Следващата тема |
Автор |
Съобщение |
Saposto_MM Напреднал
Регистриран на: 02 Apr 2007 Мнения: 383 Местожителство: Панагюрище гласове: 67
|
Пуснато на: Tue Mar 03, 2009 7:24 pm Заглавие: Отношение от центъра на вписаната окръжност |
|
|
В триъгълник всяка от ъглополовящите се дели в едно и също отношение от центъра на вписаната окръжност считано от върха на триъгълника, от който излиза съответната ъглополовяща. Докажете, че триъгълника е равностранен.
|
|
Върнете се в началото |
|
|
Реклама
|
Пуснато на: Заглавие: Реклама |
|
|
|
|
Върнете се в началото |
|
|
NoThanks Гост
|
Пуснато на: Tue Mar 03, 2009 7:38 pm Заглавие: |
|
|
Става с теоремата на Ван Обел. Сега ще пусна и решение
|
|
Върнете се в началото |
|
|
NoThanks Гост
|
Пуснато на: Tue Mar 03, 2009 8:34 pm Заглавие: |
|
|
За означенията вж. чертеж. AA1,BB1,CC1 са ъглополовящи. Прилагаме 3 пъти Ван Обел за всяка от ъглопол и получваме:
[tex]k=\frac{e}{f}+\frac{d}{c}[/tex]
[tex]k=\frac{b}{a}+\frac{c}{d}[/tex]
[tex]k=\frac{a}{b}+\frac{f}{e}[/tex]
Нека сега положим [tex]\frac{a}{b}=u \; \frac{f}{e}=v \; \frac{c}{d}=t[/tex] Имаме:
[tex]k=\frac{1}{v}+\frac{1}{t}[/tex]
[tex]k=\frac{1}{u}+t[/tex]
[tex]k=u+v[/tex] Приравняваме всяко с всяко, привеждаме под общ знаменател и получаваме 3 квадратни у-я:
[tex]u^2+u(v-t)-1=0[/tex]
[tex]t^2(uv)+t(v-u)-uv=0[/tex]
[tex]v^2(ut)+v(ut-1)-t=0[/tex]
Сега това което искаме да докажем е, че[tex]u=v=t=1[/tex]
Заместваме във всяко от уравненията и излиза, че действително 3ката [tex]u=v=t=1[/tex] е решение на системата. Тогава 1 е корен на всяко от квадратните у-я и правим Хорнер за всяко от тях. Излиза последователно, че системата е екв. на:
[tex]u+v-t=0[/tex]
[tex]u^2+uv+v-u=0[/tex]
[tex]u^2t+2ut-1=0[/tex]
Сега от 1вото [tex]u+v=t[/tex] и за 2рата имаме:
[tex]u^2+uv+v-u=0[/tex]
[tex]u^3+u^2v+2u^2+2uv-1=0[/tex]
Умножаваме 1вото уравнение по u и имаме:
[tex]u^3+u^2v+uv-u^2=0[/tex] Забелязваме еднаквите събираеми във 2рото у-е и съответно ги заместваме с 0. Тогава остава:
[tex]3u^2+uv-1=0[/tex] което има единствен възможен корен [tex]u=-v+\sqrt{v^2+12}[/tex] обаче [tex]u,v,t[/tex] са ни в интервала (0;1]. Откъдето и този корен отпада. Остава само това, което искахме.
Description: |
|
Големина на файла: |
16.74 KB |
Видяна: |
1558 пъти(s) |
|
|
|
Върнете се в началото |
|
|
Пафнутий VIP
Регистриран на: 04 Mar 2008 Мнения: 1199
гласове: 54
|
Пуснато на: Tue Mar 03, 2009 8:56 pm Заглавие: |
|
|
От условието получаваме [tex]\frac{a+b}{c}=\frac{a+c}{b}=\frac{b+c}{a}[/tex] при стандартните означения. От [tex]\frac{a+b}{c}=\frac{a+c}{b}[/tex] получаваме [tex]a(b-c)=-(b+c)(b-c)[/tex] и ако допуснем, че [tex]b\ne c[/tex], то получаваме [tex]a=-b-c[/tex]- невъзможно. Тоест [tex]b=c[/tex] и поради симетричността [tex]a=b=c[/tex].
|
|
Върнете се в началото |
|
|
martosss VIP Gold
Регистриран на: 17 Mar 2007 Мнения: 3937 Местожителство: Somewhere over the rainbow гласове: 213
|
Пуснато на: Tue Mar 03, 2009 9:28 pm Заглавие: |
|
|
От свойството на ъглополовящата за АА1С, АС1С, след което за още две двойки триъгълници, може да се докаже, че
AC1=A1C
BA1=B1A
CB1=C1B
След което ако се означат със х, у, z се получава за св-ството на ъглоп. в АВС:
[tex]\begin{tabular}{|1}\frac{x}{y}=\frac{y+z}{x+z}\\\frac{x}{z}=\frac{y+z}{x+y}\\\frac{y}{z}=\frac{x+z}{x+y}\end{tabular}[/tex] откъдето след изваждане на 2 и 3 примерно следва (x-y)(x-y+z)=0 и или y=x+z(невъзможно- излиза х=0) или х=у, и следователно х=у=z
|
|
Върнете се в началото |
|
|
|
|
Не Можете да пускате нови теми Не Можете да отговаряте на темите Не Можете да променяте съобщенията си Не Можете да изтривате съобщенията си Не Можете да гласувате в анкети Може да прикачвате файлове Може да сваляте файлове от този форум
|
|