Регистрирайте сеРегистрирайте се

Отношение от центъра на вписаната окръжност


 
   Форум за математика Форуми -> Математика за 9 клас
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
Saposto_MM
Напреднал


Регистриран на: 02 Apr 2007
Мнения: 383
Местожителство: Панагюрище
Репутация: 124.4
гласове: 67

МнениеПуснато на: Tue Mar 03, 2009 7:24 pm    Заглавие: Отношение от центъра на вписаната окръжност

В триъгълник всяка от ъглополовящите се дели в едно и също отношение от центъра на вписаната окръжност считано от върха на триъгълника, от който излиза съответната ъглополовяща. Докажете, че триъгълника е равностранен.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
NoThanks
Гост






МнениеПуснато на: Tue Mar 03, 2009 7:38 pm    Заглавие:

Става с теоремата на Ван Обел. Сега ще пусна и решение
Върнете се в началото
NoThanks
Гост






МнениеПуснато на: Tue Mar 03, 2009 8:34 pm    Заглавие:

За означенията вж. чертеж. AA1,BB1,CC1 са ъглополовящи. Прилагаме 3 пъти Ван Обел за всяка от ъглопол и получваме:
[tex]k=\frac{e}{f}+\frac{d}{c}[/tex]
[tex]k=\frac{b}{a}+\frac{c}{d}[/tex]
[tex]k=\frac{a}{b}+\frac{f}{e}[/tex]
Нека сега положим [tex]\frac{a}{b}=u \; \frac{f}{e}=v \; \frac{c}{d}=t[/tex] Имаме:
[tex]k=\frac{1}{v}+\frac{1}{t}[/tex]
[tex]k=\frac{1}{u}+t[/tex]
[tex]k=u+v[/tex] Приравняваме всяко с всяко, привеждаме под общ знаменател и получаваме 3 квадратни у-я:
[tex]u^2+u(v-t)-1=0[/tex]
[tex]t^2(uv)+t(v-u)-uv=0[/tex]
[tex]v^2(ut)+v(ut-1)-t=0[/tex]
Сега това което искаме да докажем е, че[tex]u=v=t=1[/tex]
Заместваме във всяко от уравненията и излиза, че действително 3ката [tex]u=v=t=1[/tex] е решение на системата. Тогава 1 е корен на всяко от квадратните у-я и правим Хорнер за всяко от тях. Излиза последователно, че системата е екв. на:
[tex]u+v-t=0[/tex]
[tex]u^2+uv+v-u=0[/tex]
[tex]u^2t+2ut-1=0[/tex]
Сега от 1вото [tex]u+v=t[/tex] и за 2рата имаме:
[tex]u^2+uv+v-u=0[/tex]
[tex]u^3+u^2v+2u^2+2uv-1=0[/tex]
Умножаваме 1вото уравнение по u и имаме:
[tex]u^3+u^2v+uv-u^2=0[/tex] Забелязваме еднаквите събираеми във 2рото у-е и съответно ги заместваме с 0. Тогава остава:
[tex]3u^2+uv-1=0[/tex] което има единствен възможен корен [tex]u=-v+\sqrt{v^2+12}[/tex] обаче [tex]u,v,t[/tex] са ни в интервала (0;1]. Откъдето и този корен отпада. Остава само това, което искахме.



асдгхй.png
 Description:
 Големина на файла:  16.74 KB
 Видяна:  1254 пъти(s)

асдгхй.png


Върнете се в началото
Пафнутий
VIP


Регистриран на: 04 Mar 2008
Мнения: 1199

Репутация: 137.7
гласове: 54

МнениеПуснато на: Tue Mar 03, 2009 8:56 pm    Заглавие:

От условието получаваме [tex]\frac{a+b}{c}=\frac{a+c}{b}=\frac{b+c}{a}[/tex] при стандартните означения. От [tex]\frac{a+b}{c}=\frac{a+c}{b}[/tex] получаваме [tex]a(b-c)=-(b+c)(b-c)[/tex] и ако допуснем, че [tex]b\ne c[/tex], то получаваме [tex]a=-b-c[/tex]- невъзможно. Тоест [tex]b=c[/tex] и поради симетричността [tex]a=b=c[/tex].
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Tue Mar 03, 2009 9:28 pm    Заглавие:

От свойството на ъглополовящата за АА1С, АС1С, след което за още две двойки триъгълници, може да се докаже, че
AC1=A1C
BA1=B1A
CB1=C1B

След което ако се означат със х, у, z се получава за св-ството на ъглоп. в АВС:

[tex]\begin{tabular}{|1}\frac{x}{y}=\frac{y+z}{x+z}\\\frac{x}{z}=\frac{y+z}{x+y}\\\frac{y}{z}=\frac{x+z}{x+y}\end{tabular}[/tex] откъдето след изваждане на 2 и 3 примерно следва (x-y)(x-y+z)=0 и или y=x+z(невъзможно- излиза х=0) или х=у, и следователно х=у=z Smile
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Математика за 9 клас Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
Може да прикачвате файлове
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2020 math10.com.