Задача за константност

[Saposto_MM]

Дадена е окръжност k с център O. Вътре в определения кръг е взета точка P и през нея е прекарана хорда AB. Ако [tex]\angle AOP=\alpha[/tex] и [tex]\angle BOP=\beta[/tex], докажете, че [tex]\tan(\frac{\alpha}{2})\tan(\frac{\beta}{2})[/tex] е константа за точката P и не зависи от избора на хордата AB.

[Реклама]

[ганка симеонова]

Означаваме [tex]AP=m, PB=n, OP=d, \angle AOP=\alpha, \angle POB=\beta=>\angle OAB=\angle OBA=90^\circ -\frac{\alpha+\beta }{2 } [/tex]
От свойството на пресичащите се хорди => [tex]AP.PB=MP.PN=>mn=R^2-d^2 [/tex]
Прилагаме синусови теореми за [tex]\Delta AOP=>\frac{m}{ sin\alpha }=\frac{d}{cos{\frac{\alpha+\beta }{2 } } } [/tex] и за [tex]\Delta BOP=>\frac{n}{ sin\beta }=\frac{d}{cos{\frac{\alpha+\beta }{2 } } }[/tex]
[tex]=>mn=d^2\frac{sin\alpha sin\beta }{ cos^2{\frac{\alpha +\beta }{2} } } =>\frac{sin\alpha sin\beta }{ cos^2{\frac{\alpha +\beta }{2} } }=(\frac{R}{ d})^2-1 [/tex]
Изразът в лявата страна се преобразува тригонометрично до [tex]\frac{4tg{\frac{\alpha }{ 2}}tg{\frac{\beta }{2} } }{(1-tg{\frac{\alpha }{ 2}}tg{\frac{\beta }{2} } )^2 } [/tex] Полагаме [tex]tg{\frac{\alpha }{ 2}}tg{\frac{\beta }{2} } =u; (\frac{R}{ d})^2=c => [/tex][tex]\frac{4u}{(u-1)^2 } =c-1 [/tex] =>
[tex](\frac{u+1}{ u-1})^2=c [/tex] Сега преди да коренуваме да видим знака на [tex]u-1 [/tex] Т. к. [tex]\alpha +\beta <180^\circ =>180^\circ -\frac{\alpha+\beta }{ 2}>90^\circ =>\frac{\alpha }{2 } ; \frac{\beta }{ 2} [/tex] са остри ъгли в тъпоъгълен триъгълник и тогава произведението от тангенсите им е по- малко от 1=> [tex]\frac{u+1}{ u-1}=-\sqrt{c} [/tex]
От тук лесно се вижда, че u се изразява константно, защото с е константна величнина, зависеща само от R и d.

[Saposto_MM]

Интересен подход.
Търсете и други решения. Аз намерих едно, което е различно от горното.