Кълбо и кръгов цилиндър

[kokopetel]

От плътно метално кълбо е изрязан прав кръков цилиндър с възможно най-голямо лице на околната повърхнина. Да се намери отношението на обема на цилиндъра към обема на кълбото.

Задачата е от неизтеглен вариант за изпит за ТУ. Има едно решение, което схванах някак. Има и второ решение с производна.
С производната решавам до един момент. След него...

Та ще съм благодарна на решение с производна Отговорът е [tex] \frac{3\sqrt{2}}{8 }[/tex]

[Реклама]

[ганка симеонова]

Очевидно цилиндърът е вписан в кълбото. Не означим радиуса на кълбото, радиуса на цилиндъра и височината му съответно с R, r, h. Тогава ако разгледаме едно осно сечение, ще видим правоъгълник със страни 2r и h, вписан в окръжност с радиус R.
=>[tex]h^2+4r^2=4R^2=>h=2\sqrt{R^2-r^2} [/tex]
[tex]S=2\pi rh=4\pi r\sqrt{R^2-r^2}=4\pi \sqrt{R^2r^2-r^4} [/tex]; [tex]r\in (0; R)[/tex]
Първата производна на израза в скобите е [tex]f'(r)=2rR^2-4r^3=2r(R^2-2r^2) [/tex]
Тя се анулира при [tex]r=0; r=\pm\frac{R}{ \sqrt{2} } [/tex]
В разглеждания интарвал ф-та притежава единствен екстремум, достигащ се за [tex]r=\frac{R}{ \sqrt{2} } [/tex], който е максимум=>е и НГС. Тогава [tex]h=\sqrt{2} R [/tex]