Конкурсна задача - 1980г.

[Is it black or white?]

Да се намерят реалните решения на системата, където а е реален параметър:
[tex]\begin{tabular}{|l}x^{3}+y^{3}=(1+a)(x+y) \\x^{3}-y^{3}=(1-a)(x-y)\end{tabular}[/tex]
Имам малко проблеми с оформлението на отговора накрая

[Реклама]

[martosss]

OK, пробвай така:

При [tex]a\in(-\infty\; ;\; -1]\Right\dots[/tex]
При [tex]a\in(-1\; ;\; +\infty )\backslash \left{0\right}\Right \dots[/tex]
При [tex]a=0\Right\dots[/tex]



Ако все още не можеш да я решиш ще ти дам пълните отговори, ако все пак не можеш ще ти дам решение

[Is it black or white?]

Не, не, няма да те тормозя с това, решението сам успях да го направя, но наистина отговорите ми са съвсем различни от това, което си посочил, мисля, че като я погледна пак, като имам повечко време, ще я издокарам
Благодаря ти много!

[martosss]

Мога да ти кажа аз лично как я решавам, защото методът на решение е от огромно значение

П.П. Сега като се замисля случаят за а=0 може да се прибави към втория случай, с което случаите стават 2

[Is it black or white?]

Само ако не те затруднява, като цяло, аз разглеждам първи случай, [tex]x=y[/tex], втори [tex]x=-y[/tex] и трети деля горното на [tex]x+y\ne 0[/tex], а долното на [tex] x-y\ne 0[/tex] и ги изваждам

[martosss]

е ми по принцип като имаш параметър трябва да се стремиш да разглеждаш нещата спрямо параметъра иначе зависимостите между х и у са ми до болка ясни, но не дават хубав отговор
Просто трябва да се потърси подходящото записване на системата, оттам вече всичко става лесно Аз направих някои преобразувания, но чак днес ми хрумна това очеизвадно нещо, което ти решава задачата Айде, помъчи се малко и утре ще ти го напиша

[Is it black or white?]

Утре ще съм извън града, не знам кога ще се прибера, но щом се прибера ще видя какво си писал. Благодаря ти предварително

[NoThanks]

разлагаме по ф-лата за сума/разлика на 3ти степени
=>[tex](x+y)(x^2-xy+y^2)=(1+a)(x+y)[/tex]
[tex](x-y)(x^2+xy+y^2)=(1-a)(x-y)[/tex]
1)x=-y => за 1вата система всяко а. Във втората: [tex]-2y^3=-2y(1-a) <=> 2y(-y^2+1-a)=0 => x=y=0[/tex] всяко а ; [tex]y=\pm\sqrt{1-a} \; x=-\pm\sqrt{1-a}[/tex], за [tex]a\le1[/tex]
2)x=y => всяко а за 2рата система. За 1вата [tex]2y^3=2y(1+a) =>2y(y^2-1-a)=0[/tex] => х=у=0 за всяко а [tex]y=\pm\sqrt{1+a}\; x=\pm\sqrt{1+a}[/tex] за [tex]a\ge-1[/tex]
3)[tex]x\ne y \; x\ne -y[/tex] => делим и 2те уравнения на х-у/х+у =>
[tex]x^2-xy+y^2=1+a[/tex]
[tex]x^2+xy+y^2=1-a[/tex] Сега отляво и на 2те уравнения стои нещо по-голямо от 0, значи, за да има реш [tex]1+a >0 <=> a>-1 \;[/tex] [tex]1-a>0 a<1[/tex] => за да има решение [tex]a\in(-1;1)[/tex] Събираме:
[tex]x^2+y^2=1[/tex] =>
[tex]1-xy=1+a[/tex] [tex]=>xy=-a[/tex]
1)a=0 => (0;1) (0-1) (1;0) (-1;0)
2)[tex]a\ne0[/tex] => [tex]y=\frac{-a}{x}[/tex]
[tex]x^2+\frac{a^2}{x^2}=1 <=>t^2-t+a^2=0 D=1-4a^2[/tex]
[tex]D<0 <=> a \in(-1/2;1/2) => NE[/tex] Иначе има 2 реш. Сега разглеждаш и кога са в ДС и си готов. и разбира се трябва да се засече с получения интервал (-1;1) в който изобщо може да има някакви решения.

[martosss]

Опа, май съм имал грешка на No thanks решението май е така, така че виж него

[Дидева]

В сборника на Георги Паскалев " Конкурсни задачи по математика за постъпване във ВУЗ"
е дадено подробно решение на задачата.

[Is it black or white?]

Същите неща съм получил, но накрая отговорът съм го формулирал по много грешен начин, много благодаря и на двама ви