Уравнение с корен трети

TheXFiles

[tex]\sqrt[3]{x+1} + \sqrt[3]{3x+1} = \sqrt[3]{x-1}[/tex]

След 2 повдигания на трета степен стигам до корени [tex]x_{1 }=0[/tex] и [tex]x_{2 }=-1[/tex], но след проверка в условието се вижда, че [tex]x_{1 }=0[/tex] не е корен. Въпросът ми е, при подобни уравнения винаги ли трябва да се прави проверка или има някакво условие, което съм пропуснал да прочета?

Реклама

qwerradi · Пуснато на: Sat Feb 28, 2009 8:39 pm Заглавие:

При ирационални уравнения, при които имаш корен трети, винаги се прави писмена проверка, тъй като при корен трети нямаш ДМ за х.

Is it black or white? · Пуснато на: Sat Feb 28, 2009 10:32 pm Заглавие:

martosss · Пуснато на: Sat Feb 28, 2009 10:57 pm Заглавие:

При заместване на [tex]\sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{x+1}[/tex] със [tex]\sqrt[3]{x-1}[/tex] преди второто повдигане на трета степен може да се получат чужди корени, оттам именно получаваш и това решение Wink

Иначе ако положиш
x+1=a
x-1=b

получаваш

[tex]a+\sqrt[3]{2a^3+b^3}=b\\\sqrt[3]{2a^3+b^3}=b-a\\2a^3+\N {b^3}=\N {b^3}-3ab^2+3a^2b-a^3\\\N 3a^3=\N 3ab(a-b)\\a=0\cup a^2-ab+b^2=0[/tex]
от второто имаме a=b=0, откъдето x+1=x-1=0, противоречие, от първото имаме x=-1, което е и решение Smile

TheXFiles · Пуснато на: Sat Feb 28, 2009 11:02 pm Заглавие:

Нямам грашка, може би я решаваме по различни начини:
[tex]\sqrt[3]{x+1} + \sqrt[3]{3x+1} = \sqrt[3]{x-1}[/tex]
[tex]x+1+3x+1+3\sqrt[3]{(x+1)(3x+1)}(\sqrt[3]{x+1} +\sqrt[3]{3x+1})=x-1[/tex]
[tex]\sqrt[3]{(x+1)(3x+1)(x-1)}=-3x-3[/tex]
[tex]2x^{3}+x^{2}-3x-1+x^{3}+3x^{2}+3x+1=0[/tex]
[tex]x^{3}+x^{2}=0[/tex]
[tex]x^{2}(x+1)=0[/tex]
[tex]x_{1}=0 [/tex]
[tex]x_{2}=-1[/tex]

Archer, предполагам искаш да кажеш нечетна

ганка симеонова · Пуснато на: Sat Feb 28, 2009 11:04 pm Заглавие:

ганка симеонова · Пуснато на: Sat Feb 28, 2009 11:09 pm Заглавие:

КОгато решаваме уравнение с този метод, винаги правим проверка за корените

TheXFiles · Пуснато на: Sat Feb 28, 2009 11:17 pm Заглавие:

Ясно, благодаря за помощта

ганка симеонова · Пуснато на: Sat Feb 28, 2009 11:20 pm Заглавие:

Ясно е, че х=0 не удовлетворява уравнението и поради това не е корен. Следва, че разсъжденията съдържат недостатък. При разсъждаването е приложена теорема, която знаем е теорема на еквивалентност. Това значи, че прилагането и не води до получаване на чужди корени. При решаването обаче е взето под внимание, че изразът в скобите е равен на [tex]\sqrt[3]{x-1} [/tex], но това е вярно само за корените на даденото уравнение. Ето защо, задължително се прави проверка за евентуално отстраняване на чужди корени.
Това навежда на мисълта да се формулира следната
" Теорема за нееквивалентност"- Числото z е чужд корен на
[tex]\sqrt[3]{f_1(x)} +\sqrt[3]{f_2(x)}=f_3(x) <=>[/tex], когато едновременно са изпълнени условията [tex]f_1(z)=f_2(z)=-(f_3(z))^3 [/tex] и [tex]f_3(z)\ne 0 [/tex]

Is it black or white? · Пуснато на: Sun Mar 01, 2009 11:47 am Заглавие:

martosss · Пуснато на: Sun Mar 01, 2009 1:43 pm Заглавие:

При повдигането на нечетна степен няма чужди решения, защото знакът "-" се запазва и колкото и да повдигаш винаги ще имаш еквивалентност.

Заместването вече е друга тема - при него понякога има.

В моето решение няма чужди корени, защото в него не използвам нееквивалентни преобразувания(заместване), докато в решението на the x files заместването на корените с друг корен предопределя чужди корени и точно за това се получава допълнително решение, мисля че Ганка го обясни доста ясно и точно Wink

Baronov · Пуснато на: Sun Mar 01, 2009 2:17 pm Заглавие:

ганка симеонова · Пуснато на: Sun Mar 01, 2009 2:26 pm Заглавие:

Баронов, пак ми отваряш цяла тема за писане, но ще я напиша, за да изясним проблема. Това обаче по всяка вероятност ще е довечера Very Happy

Math? · Пуснато на: Mon Mar 02, 2009 3:36 pm Заглавие:

Какво стана с обяснението Sad

ганка симеонова · Пуснато на: Mon Mar 02, 2009 4:33 pm Заглавие:

Нека с [tex]x_0[/tex] означим кой да е корен на уравнението [tex]\sqrt[3]{f_1(x)} +\sqrt[3]{f_2(x)}=f_3(x)=>\sqrt[3]{f_1(x_0)} +\sqrt[3]{f_2(x_0)}=f_3(x_0)[/tex]
Повдигаме на куб двете страни на това вярно числово равенство и получаваме [tex]f_1(x_0)+3\sqrt[3]{f_1(x_0)}\sqrt[3]{f_2(x_0)}[\sqrt[3]{f_1(x_0)}+\sqrt[3]{f_2(x_0)}]+f_2(x_0)=[f_3(x_0)]^3 [/tex]

По такъв начин [tex]f_1(x_0)+3\sqrt[3]{f_1(x_0)}\sqrt[3]{f_2(x_0)}f_3(x_0)+f_2(x_0)=[f_3(x_0)]^3 [/tex]
Оттук намираме, че [tex]x_0[/tex] е корен и на уравнението [tex]f_1(x)+f_2(x)+[-f_3(x)]^3-3\sqrt[3]{f_1(x)} \sqrt[3]{f_2(x)} [-f_3(x)]=0 [/tex]
Обратно, нека с [tex]x_1 [/tex] означим кой да е корен на последното уравнение. Тогава
[tex]f_1(x_1)+f_2(x_1)+[-f_3(x_1)]^3-3\sqrt[3]{f_1(x_1)} \sqrt[3]{f_2(x_1)} [-f_3(x_1)]=0 [/tex]
Какъв извод можем да направим от факта, че е изпълнено това равенство. За да отговорим, ще използваме следното: за произволни числа а, b и с е в сила
[tex]a^3+b^3+c^3-3abc=\frac{1}{ 2}(a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2][/tex]
Ако положим [tex]a=\sqrt[3]{f_1(x_1)} ; b=\sqrt[3]{f_2(x_1)}; c=-f_3(x_1) [/tex]Tова показва, че поне един от тези два израза е 0=>[tex]x_1 [/tex] се явява корeн или на даденото уравнение или на уравнението
[tex] (\sqrt[3]{f_1(x)} -\sqrt[3]{f_2(x)})^2+(\sqrt[3]{f_2(x)}+f_3(x))^2+(\sqrt[3]{f_1(x)}+f_3(x))^2=0 [/tex]
Множеството от решенията на последното уравнение е сечението от решенията на уравненията
[tex]f_1(x)=f_2(x); f_1(x)=-[f_3(x)]^3; f_2(x)=-[f_3(x)]^3 [/tex]. Тази тройка уравнения свеждаме към
[tex]f_1(x)=-[f_3(x)]^3; f_2(x)=-[f_3(x)]^3 [/tex]
По такъв начин, за да отговорим на въпроса, кога получаваме чужди корени на даденото уравнение, достатъчно е да намерим решения на последната двойка уравнения, които не са решение на даденото. Заместваме в него
[tex]f_1(x) [/tex] и [tex]f_2(x)[/tex] с [tex]-[f_3(x)]^3 [/tex] и получаваме, че [tex]\sqrt[3]{-[f_3(x)]^3} +\sqrt[3]{-[f_3(x)]^3}=f_3(x) [/tex]
Става ясно, че чужди корени за даденото уравнение получаваме тогава и само тогава, когато едновременно са изпълнени условията
[tex]f_1(z)=f_2(z)=-[f_3(z)]^3; f_3(z)\ne 0 [/tex]