Неравенство в триъгълник

Saposto_MM

Докажете, че за всеки нетъпоъгълен триъгълник е вярно
[tex]h_{a}+h_{b}+h_{c}\le \frac{9R}{2}[/tex], при стандартни означения за триъгълник.

Реклама

ганка симеонова · Пуснато на: Sat Feb 28, 2009 1:52 pm Заглавие:

[tex]h_a\le m_a; h_b\le m_b; h_c\le m_c=> h_a+h_b+h_c\le m_a+m_b+m_c [/tex]
Ще ползваме неравенството [tex]m_a^2+m_b^2+m_c^2\le \frac{27}{ 4} R^2 [/tex]
EDIT: Ао трябва, после ще го докажа.
[tex](m_a+m_b+m_c)^2=m_a^2+m_b^2+m_c^2+2m_am_b+2m_am_c+2m_bm_c\le 3(m_a^2+m_b^2+m_c^2)\le \frac{81}{ 4} R^2=> [/tex]
[tex]m_a+m_b+m_c\le \frac{9}{2 } R [/tex]

Baronov · Пуснато на: Sat Feb 28, 2009 2:14 pm Заглавие:

ганка симеонова · Пуснато на: Sat Feb 28, 2009 9:32 pm Заглавие:

От [tex]COC_1=>OM^2=R^2-\frac{c^2}{6 } -\frac{2}{9 }m_c^2 [/tex] ( теорема на Стюарт) Аналогично
[tex]OM^2=R^2-\frac{a^2}{6 } -\frac{2}{9 }m_a^2 ; OM^2=R^2-\frac{b^2}{6 } -\frac{2}{9 }m_b^2 [/tex] Събираме трите равенства и получаваме
[tex]3OM^2=3R^2-\frac{a^2+b^2+c^2}{6 } -\frac{2}{ 9} (m_a^2+m_b^2+m_c^2)=>3R^2\ge \frac{a^2+b^2+c^2}{6 } +\frac{2}{ 9} (m_a^2+m_b^2+m_c^2) [/tex],но
[tex]a^2+b^2+c^2=\frac{4}{3 } (m_a^2+m_b^2+m_c^2)=> 3R^2\ge \frac{4}{9 }( m_a^2+m_b^2+m_c^2)=>m_a^2+m_b^2+m_c^2 \le \frac{27R^2}{ 4} [/tex]

ганка симеонова · Пуснато на: Sat Feb 28, 2009 9:54 pm Заглавие:

И в заключение можем да кажем, че за всеки триъглник е в сила
[tex]h_a+h_b+h_c\le l_a+l_b+l_c\le m_a+m_b+m_c\le \frac{9}{2 }R [/tex]

Пафнутий · Пуснато на: Sat Feb 28, 2009 10:00 pm Заглавие:

Следствие от това неравенство е и [tex]ab+bc+ca\le 9R^2[/tex]. Всъщност двете са равносилни Wink

Is it black or white? · Пуснато на: Sat Feb 28, 2009 10:12 pm Заглавие:

ганка симеонова · Пуснато на: Sun Mar 01, 2009 10:54 am Заглавие:

ОМ може и без Стюарт.

Означаваме [tex]OM=d=>PM=R+d; MQ=R-d ; C_1T=x[/tex]

[tex]PM.MQ=CM. MT=>(R+d)(R-d)=\frac{2}{3 }m_c(\frac{1}{3 }m_c+x) (1)[/tex]

[tex]AC_1.C_1B=CC_1. TC_1=>\frac{c^2}{4 }=x. m_c=>x=\frac{c^2}{ 4m_c}(2)[/tex]

заместваме (2) в (1) и сме готови.