Задача f(x) = cost + t.sint ...

[ганка симеонова]

Нека [tex]f(t)=cost+t sint [/tex] и [tex]g(x)=x cos{\frac{\pi }{ x} [/tex]
а) Да се намерят НГС и НМС на [tex]f(t)[/tex] в интервала [tex][0; \frac{\pi }{2 }] [/tex]
б) Да се докаже, че [tex]g'(x)>1 [/tex] за всяко реално число [tex]x\ge 2[/tex]
в) Да се докаже, че [tex](x+1) cos{\frac{\pi }{x+1 }}-x cos {\frac{\pi }{x }}>1 [/tex] за всяко реално число [tex]x\ge 2 [/tex]

[Реклама]

[Spider Iovkov]

а) [tex]f(t)=cos t+t sin t, t\in [0;\frac{\pi}{2}][/tex]
За да намерим най-голямата и най-малката стойност на тази функция в зададения интервал, е достатъчно да сравним стойнстите на [tex]f(t)[/tex] в двата края на интервала и стойностите на [tex]f(t)[/tex], получени след заместване в нея на точките, анулиращи първата производна.
[tex]f'(t)=(cos t)'+(t sin t)'=-sin t+ t' sin t+t (sin t)'=-\cancel {sin t}+\cancel {sin t} + t cos t= t cos t[/tex]
[tex]f'(t)=0 \Leftrightarrow t cos t=0 \Leftrightarrow t=0, t=\frac{\pi}{2}[/tex], тоест критичните за първата производна точки съвпадат с тези в краищата на интервала. И сега, тъй като [tex]f'(t)>0[/tex] за всяко [tex]t\in [0;\frac{\pi}{2}][/tex], то [tex]f'(t) \nearrow[/tex] и ще достига най-малката и най-голямата си стойност съответно в левия и в десния край на интервала. Пресмятаме тези стойности:
[tex]f_{\cyr NMS}=f(0)=cos 0+0. sin 0=cos 0=1; f_{\cyr NGS}=f(\frac{\pi}{2})=cos{\frac{\pi}{2}}+\frac{\pi}{2} sin{\frac{\pi}{2}}=\frac{\pi}{2} sin{\frac{\pi}{2}}=\frac{\pi}{2}[/tex].

[NoThanks]

б) имаме, че:
[tex]g(x)=xcos(\frac{\pi}{x})[/tex]
[tex]g'(x)=cos(\frac{\pi}{x})+x(-sin(\frac{\pi}{x}))(\frac{\pi}{x})' = cos(\frac{\pi}{x})+\frac{\pi}{x}sin(\frac{\pi}{x}[/tex]
Сега ще ползваме, че при [tex]y \in (0;\frac{\pi}{2})[/tex] y>siny. откъдето като заместим в конкретния пример получаваме:
[tex]g'(x)>cos(\frac{\pi}{x})+sin^2(\frac{\pi}{x}) = -cos^2(\frac{\pi}{x})+cos(\frac{\pi}{x})+1[/tex]
И тъй като, когато косинусът е положителен(а в разглеждания за х интервал е така) [tex]cosx>cos^2x[/tex], то
[tex]-cos^2(\frac{\pi}{x})+cos(\frac{\pi}{x})+1>1[/tex], откъдето [tex]g'(x)>1[/tex]
P.P Това може да се намери и директно като се полва доказаното за НМС и НГС в а), но все пак това повече ми харесва

[ганка симеонова]

а в)?

[NoThanks]

в) Да се докаже, че [tex]f(x)=(x+1) cos{\frac{\pi }{x+1 }}-x cos {\frac{\pi }{x }}>1 [/tex] за всяко реално число [tex]x\ge 2 [/tex]
Ще ползваме, че [tex]cos{\frac{\pi}{x+1}}\ge 1-\frac{\pi^2}{2(x+1)^2}[/tex] Тогава
[tex]f(x)\ge (x+1)(1-\frac{\pi^2}{2(x+1)^2})-xcos {\frac{\pi }{x }}=x+1-\frac{\pi^2}{2(x+1)^2}-x cos {\frac{\pi }{x }}=x(1-cos{\frac{\pi}{x}})+(1-\frac{\pi^2}{2(x+1)})[/tex]
Нека [tex]k(x)=x(1-cos{\frac{\pi}{x}})[/tex] [tex]k'(x)=1-cos{\frac{\pi}{x}}+\frac{\pi}{x}sin{\frac{\pi}{x}}[/tex] От а) обаче знаем [tex]cost+tsint>1 <=> \frac{\pi}{x}sin{\frac{\pi}{x}}>1-cos{\frac{\pi}{x}}=>k'(x)>2-2cos{\frac{\pi}{x}>0[/tex]
откъдето получихме че k(x) е растяща функция. От друга страна [tex](1-\frac{\pi^2}{2(x+1)})[/tex] очевидно също е растяща. Тогава сумата от 2 растяща функции също е растяща и минимумът на сумата се достига за минимумът за х,който е 2
=>[tex]f_{min}=f(2)=2+1-\frac{\pi^2}{5}>3-\frac{3,2^2}{5}>1=>f(x)>1[/tex]