Общински кръг, 10-ти клас, Пловдив, 2009.

[Saposto_MM]

Даден е [tex]\Delta ABC[/tex], [tex]\angle ACB=90^\circ [/tex]. [tex]CH\bot AB[/tex] ([tex]H \in AB)[/tex]), [tex]HK\bot AC[/tex] ([tex]K \in AC[/tex]), [tex]HR\bot BC[/tex], ([tex]R \in BC[/tex]). Ако [tex]AK=m[/tex], [tex]BR=n[/tex] и [tex]AB=c[/tex], докажете, че [tex]\sqrt[3]{m^{2}}+\sqrt[3]{n^{2}}=\sqrt[3]{c^{2}}[/tex].

[Реклама]

[ганка симеонова]

[tex]BC=a; AC=b; AD=x; BD=y=>a^2=cy; b^2=cx=>x=\frac{b^2}{ c} ; y=\frac{a^2}{ c}[/tex]-следва от метр. зависимости за АВС.

От подобието на триъгълниците AHK и HBR=>[tex]\frac{x}{ m}=\frac{y}{b-m }; \frac{y}{n } =\frac{x}{ a-n} [/tex]Зaместваме х и у и получаваме

[tex]\frac{b^2}{m } =\frac{a^2}{ b-m} ; \frac{a^2}{n }=\frac{b^2}{a-n } =>m=\frac{b^3}{a^2+b^2 }=\frac{b^3}{c^2 } ; n=\frac{a^3}{a^2+b^2 } =\frac{a^3}{ c^2}=> [/tex]

[tex]\sqrt[3]{m^2} +\sqrt[3]{n^2}=\sqrt[3]{(\frac{b^3}{ c^2})^2 }+\sqrt[3]{(\frac{a^3}{c^2 })^2 } =\frac{a^2+b^2}{ \sqrt[3]{c^4} } =\sqrt[3]{c^2} [/tex]