Трудни задачки за олимпиада

[GuBs`]

Ето ги и тях

1.В триъгълника АВС с ъгъл АСВ=y точката J е център на вписаната окръжност.Намерете ъгъл AJB
Отговор: 90+y/2

2.Докажете че окръжностите вписани в еднакви триъгълници са еднакви

3.Да се докаже че ако ab+bc+ac=1 то
a/а на квадрат-1 + b/b на квадрат-1 + c/c на квадрат -1=4abc върху (а на квадрат -1)(b на квадрат -1)(c на квадрат -1) където а,b,c са различни от + и - 1

4.Пътят между две хижи А и В представлява само изкачване и спускане.Пре изкачването турист се движи със скорост 4км а при спускането със скорост 6км.За 6 часа той изминал пътя от А до В,след това се върнал по същият маршрут за 5 часа и 40минути.Колко км е пътят от А до В

5.Точките N и P са съответно среди на страните на BC и CD на успоредника АВСD.През точка P е построена права m успоредна на AN,a през N права n успоредна на АР.Правите m и n се пресичат в точка Q.Да се докаже че A,C и Q лежат на една права.

6.Точката М лежи върху диагонала BD на квадрат АВСD като BM=1/4BD.Правата СМ пресича страната АВ в точка N.Намерете отношението на ВN:BC

7.Петоъгълникът АВСD e вписан в окръжност.Да се намери дължината на тази окръжност ако BC=CE,
SADE=SCDE
SABC=SBCD
3AC+2BD=5

S-Лице

8.Нека a и b са естествени числа,такива че а+b Се дели на 2 на 2000 степен,но не се дели на 2 на 2001 степен и a на квадрат + b на квадрат се дели на 2 на 2001 степен,но не се дели на 2 на 2002 степен.Да се намери най-високата степен на 2,която дели a на 3 + b на 3

[Реклама]

[Spider Iovkov]

Задача 1. Тъй като [tex]J[/tex] е център на вписаната окръжност, то всички прави, минаващи през връх на триъгълника и през тази точка, са ъглополовящи. Ако означим [tex]\angle BAC=\alpha, \angle ABC=\beta[/tex] и използваме даденото в условието – [tex]\angle ACB=\gamma[/tex], можем да запишем: [tex]\angle ACL=\angle BCL=\frac{\gamma}{2}[/tex], където [tex]L[/tex] е пресечната точка на ъглополовящата през върха [tex]C[/tex] със страната [tex]AB[/tex], [tex]\angle CAJ=\angle BAJ=\frac{\alpha}{2}, \angle CBJ=\angle JBA=\frac{\beta}{2}[/tex]. Тъй като сборът от ъглите в който и да е триъгълник е равен на [tex]180^\circ[/tex], то също така [tex]\angle CAJ+\angle ACJ+\angle CJA=180^\circ \Leftrightarrow \angle AJC=180^\circ-\frac{\alpha+\gamma}{2} \Rightarrow \angle AJL=\frac{\alpha+\gamma}{2}[/tex] (съседни ъгли). Но и [tex]\angle CBJ+\angle BJC+\angle BCJ=180^\circ \Leftrightarrow \angle BJC=180^\circ-\frac{\beta+\gamma}{2} \Rightarrow \angle BJL=\frac{\beta+\gamma}{2}[/tex] (също съседни ъгли). В такъв случай [tex]\Rightarrow \angle AJB=\angle AJL+\angle BJL \Leftrightarrow \angle AJB=\frac{\alpha+\gamma}{2}+\frac{\beta+\gamma}{2} \Leftrightarrow \angle AJB=\frac{\alpha+\beta+2\gamma}{2}[/tex].
От равенството [tex]\alpha+\beta+\gamma=180^\circ[/tex] имаме [tex]\alpha+\beta=180^\circ-\gamma \Leftrightarrow \frac{\alpha+\beta}{2}=90^\circ-\frac{\gamma}{2}[/tex]. Заместваме тази стойност в израза за големината на търсения ъгъл и получаваме
[tex]\angle AJB=90^\circ-\frac{\gamma}{2}+\frac{2\gamma}{2} \Leftrightarrow \angle AJB=90^\circ+\frac{\gamma}{2}[/tex].

[pipi langstrump]

[GuBs`]

ами да но трябва доказателство така пише докажете

[Spider Iovkov]

Задача 3. Ако [tex]ab+bc+ac=1[/tex], да се докаже, че
[tex]\frac{a}{a^2-1}+\frac{b}{b^2-1}+\frac{c}{c^2-1}=\frac{4abc}{(a^2-1)(b^2-1)(c^2-1)}[/tex].
Доказателство. Извършваме опростявания и превръщаме трите дроби отляво в една цяла дроб, ще получим
[tex]\frac{a(b^2-1)(c^2-1)+b(a^2-1)(c^2-1)+c(a^2-1)(b^2-1)}{(a^2-1)(b^2-1)(c^2-1)}=\frac{4abc}{(a^2-1)(b^2-1)(c^2-1)}[/tex].
Двете дроби вляво и вдясно имат равни знаменатели. Дробите ще са тъждествени, ако са равни числителите им, тоест трябва да докажем, че
[tex]\fbox {a(b^2-1)(c^2-1)+b(a^2-1)(c^2-1)+c(a^2-1)(b^2-1)=4abc}[/tex].
От дадената зависимост в условието на задачата можем да запишем [tex]\fbox {ab=1-bc-ac}; \fbox {bc=1-ab-ac}; \fbox {ac=1-ab-bc}[/tex].
Преобразуваме числителя, образуван след превръщането на трите дроби в една, като разкриваме скобите. Тогава
[tex]a^2-ac^2-ab^2+ab^2c^2+b-bc^2-a^2b+a^2bc^2+c-b^2c-a^2c+a^2b^2c=[/tex]
[tex]=a-\fbox{ac}c-ab^2+ab^2c^2+b-bc^2-a. \fbox{ab}+a^2bc^2+c-b. \fbox{bc}-a^2c+a^2b^2c=[/tex]
[tex]=a-c \fbox{(1-ab-bc)}-ab^2+ab^2c^2+b-bc^2-a \fbox{1-bc-ac}+a^2bc^2+c-b \fbox{1-ab-ac}-a^2c+a^2b^2c=[/tex]
[tex]=\cancel a-\cancel c+abc+bc^2-ab^2+ab^2c^2+\cancel b-bc^2-\cancel a+abc+a^2c+a^2bc^2+\cancel c-\cancel b+ab^2+abc-a^2c+a^2b^2c=[/tex]
[tex]=abc+\cancel {bc^2}-\cancel {ab^2}+ab^2c^2-\cancel {bc^2}+abc+\cancel {a^2c}+a^2bc^2+\cancel {ab^2}+abc-\cancel {a^2c}+a^2b^2c=[/tex]
[tex]=3abc+abc(bc+ac+ab)=[/tex]
[tex]=4abc[/tex].
Тъждеството е доказано.

[GuBs`]

Може ли да ми дадете чертеж на първа задача за да ми стане по ясно

[Pinetop Smith]

Толкова ли не можеш да си начертаеш три ъглополовящи?

[Who_cares123456]

rofl

сори за спама