Геометрия от М+

[astateoftrance]

Тука от известно време се кьоря на една геометрия, на която нямам решението, ето условието:
Нека триъгълник ABC е нетъпоъгълен, К е произволна точка от страната AB, а M и N са петите на перпендикулярите от K към AC и BC съответно. Да се докаже, че лицето на ABC е поне 4 пъти по-голямо от лицето на KMN (M+ 327, Хр. Лесов).

[Реклама]

[Saposto_MM]

Нека [tex]\angle ABC=\beta[/tex], [tex]\angle ACB=\gamma[/tex], [tex]\angle BAC=\alpha[/tex], [tex]AK=m[/tex], [tex]BK=n[/tex] и [tex]AB=c[/tex]. От [tex]\Delta AKM[/tex] [tex]KM=m\sin\left(\alpha\right)[/tex] и от [tex]\Delta BKN[/tex] [tex]KN=n\sin\left(\beta\right)[/tex]. Също така [tex]\angle NKM=\alpha+\beta[/tex]. Имаме [tex]S_{\Delta ABC}=\frac{c^{2}\sin\left(\alpha\right)\sin\left(\beta\right)}{2\sin\left(\gamma\right)}[/tex] и [tex]S_{\Delta KMN}=\frac{m\sin\left(\alpha\right)n \sin\left(\beta \right)\sin\left(\alpha+\beta \right)}{2}[/tex]. За лицето на [tex]\Delta KMN[/tex] получаваме [tex]S_{\Delta KMN}=\frac{mn\sin\left(\alpha\right) \sin\left(\beta \right)\sin\left(\alpha+\beta \right)}{2}\le \frac{\left(m+n\right)^{2}\sin\left(\alpha\right) \sin\left(\beta \right)\sin\left(\alpha+\beta \right)}{8}=\frac{c^{2}\sin\left(\alpha\right) \sin\left(\beta \right)\sin\left(\alpha+\beta \right)}{8}[/tex]. Ще докажем, че [tex]\frac{c^{2}\sin\left(\alpha\right) \sin\left(\beta \right)\sin\left(\alpha+\beta\right)}{8}\le \frac{c^{2}\sin\left(\alpha\right)\sin\left(\beta\right)}{8\sin\left(\gamma\right)}[/tex]. Последното е еквивалентно със [tex]\sin\left(\gamma\right)\sin\left(\alpha+\beta\right)\le 1[/tex], което очевидно е вярно като се имат предвид ясните [tex]\sin\left(\gamma\right)\le 1[/tex] и [tex]\sin\left(\alpha+\beta\right)\le 1[/tex]. Равенство се достига, когато [tex]m=n[/tex] и [tex]\sin\left(\gamma\right)=\sin\left(\alpha+\beta\right)=1[/tex], т.е. когато триъгълникът е правоъгълен и точка P е средата на хипотенузата му.