Задача чрез синусова теорема .

[kosioip]

Даден е триъгълник АВС АС=ВС и гама = 40 градуса. М е вътрешна точка за триъгълника така че <МАВ = 20 и <МВА = 40

<ВСМ=?

Стигам до тригонометричното уравнение и немога да се справя с него.Моля за помощ и се извинявам но не се оправих с бутоните по надолу х

[Реклама]

[kosioip]

Никой ли неможе да ми помогне с задачата ?

[Is it black or white?]

[tex] 10^\circ [/tex]

[kosioip]

[Spider Iovkov]

Очевидно можем да запишем
[tex]\angle MAB=20^\circ, \\ \angle MBA=40^\circ, \\ \angle AMB=120^\circ, \\ \angle CAM=50^\circ, \\ \angle ACM=40^\circ-x, \\ \angle CMA=90^\circ+x, \\ \angle MBC=30^\circ, \\ \angle BCM=x, \\ \angle CMB=150^\circ-x[/tex].
Прилагаме синусовата теорема за [tex]\triangle ACM[/tex] и [tex]\Rightarrow \frac{AC}{sin(90^\circ+x)}=\frac{CM}{sin 50^\circ}[/tex]. Постъпваме по същия начин и с [tex]\triangle BCM[/tex] и получаваме [tex]\frac{BC}{sin(150^\circ-x)}=\frac{CM}{sin 30^\circ}[/tex]. Тогава [tex]AC=\frac{CM sin(90^\circ+x)}{sin 50^\circ}[/tex] и [tex]BC=\frac{CM sin(150^\circ-x)}{sin 30^\circ}[/tex]. Оттук [tex]\Rightarrow \frac{\cancel {CM} sin(90^\circ+x)}{sin 50^\circ}=\frac{\cancel {CM} sin(150^\circ-x)}{sin 30^\circ} \Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \frac{cos x}{sin 50^\circ}=\frac{sin(150^\circ-x)}{sin 30^\circ} \Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \frac{cos x}{sin 50^\circ}=\frac{sin(150^\circ-x)}{\frac{1}{2}} \Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \frac{cos x}{sin 50^\circ}=2 sin(150^\circ-x) \Leftrightarrow[/tex]
[tex] \Leftrightarrow cos x=2 sin 50^\circ sin(150^\circ-x) \Leftrightarrow[/tex][tex]\Leftrightarrow cos x=2 sin 50^\circ (sin 150^\circ cos x-cos 150^\circ sin x) \Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow cos x=2 sin 50^\circ (\frac{1}{2} cos x +\frac{\sqrt{3}}{2} sin x) \Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow cos x=\frac{\cancel 2 sin 50^\circ (cos x+\sqrt{3} sin x)}{\cancel 2} \Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow cos x=sin 50^\circ (cos x+\sqrt{3} sin x) \Leftrightarrow[/tex] [tex]\Leftrightarrow cos x=sin 50^\circ cos x+\sqrt{3} sin 50^\circ sin x[/tex].
И сега, тъй като [tex]x<90^\circ[/tex], то [tex]cos x>0, sin x>0[/tex]. Разделяме двете страни на уравнението на числото [tex]cos x[/tex] и [tex]\Rightarrow[/tex]

[tex]\Rightarrow \frac{\cancel {cos x}}{\cancel {cos x}}=\frac{sin 50^\circ \cancel {cos x}}{\cancel {cos x}}+\frac{\sqrt{3} sin 50^\circ sin x}{cos x} \Leftrightarrow \\ \\ \Leftrightarrow sin 50^\circ +\sqrt{3} sin 50^\circ \tan x=1 \Leftrightarrow \tan x=\frac{1- sin 50^\circ}{\sqrt{3} sin 50^\circ}[/tex].

[ганка симеонова]

Емо, в крайна сметка, кое е решението?

[ганка симеонова]

[tex]sin th \Delta ABC=>a=b\frac{sin40^\circ }{ sin70^\circ }=b \frac{sin40^\circ }{ cos20^\circ }=2bsin20^\circ ....(1) [/tex]

[tex]sin th\Delta AMB=>\frac{a}{sin60^\circ } =\frac{z}{sin20^\circ }=>a=\frac{zsin60^\circ }{sin20^\circ } ....(2) [/tex]

[tex]sin th \Delta MBC=>\frac{b}{sin(30^\circ +x) } =\frac{z}{ sinx}=>b=z\frac{sin(30^\circ+x )}{ sinx} ...(3) [/tex]

От (1), (2), (3), получаваме [tex]\frac{sin60^\circ }{ sin20^\circ }=2\frac{sin(30^\circ +x)sin20^\circ }{sinx } =>\frac{3sin20^\circ -4sin^320^\circ }{ sin^220^\circ } =2\frac{sin(30^\circ +x)}{ sinx} [/tex]

Преобразуваме лявата страна=>[tex]\frac{3 -4sin^220^\circ }{ sin20^\circ }=\frac{4sin80 ^\circ sin40^\circ }{ 2sin10^\circ cos10^\circ }=\frac{4cos 10 ^\circ sin40^\circ }{ 2sin10^\circ cos10^\circ }=2\frac{cos 40^\circ }{ sin 10^\circ } [/tex]=>

[tex]2\frac{cos 40^\circ }{ sin 10^\circ } =2\frac{sin(30^\circ +x)}{ sinx} =>\frac{sin(30^\circ +x)}{ sinx}=\frac{sin(30^\circ +10^\circ )}{ sin10^\circ }=>sin30^\circ cotgx+cos30^\circ =sin30^\circ cotg10^\circ +cos30^\circ=>cotgx=cotg10^\circ =>[/tex]

[tex]x=10^\circ [/tex]

[ганка симеонова]

Но задачата може да се реши красиво чисто геометрично, без тригонометрия
Чакам идеи

[ганка симеонова]

Същите. Няма категория, драги.

[r2d2]

Ето друго триgoнометрично решение на зада4ата, днес цял ден ПУЛЯ и до геометрия не се добрах!
Това е теоремата на Чева в тригонометричен вид (Произведенията на Сините= Тези на Червените или Левски-ЦСКА 1:1).

В нашата задача: Сметките в градуси: [tex]\sin20\sin30\sin(40-x)=\sin50\sin40\sin x[/tex].

Като ползваме, че [tex] \sin50=cos40;\; sin30=1/2[/tex] достигаме до [tex]\sin20\sin(40-x)=2\cos40\sin40\sin x \Rightarrow \sin20\sin(40-x)=\sin80\sin x = \cos10\sin x[/tex] или
[tex]2\sin 10 \sin(40-x)=\sin x[/tex].

x>0 Лявата страна намалява, а дясната расте.Вижда се че [tex]x=10 [/tex]e единственото решение!

[r2d2]

По-просто доказателство на горното твърдение: Нека трите прави се пресичат в О.

Тогава : [tex]\frac{AO}{OB}\frac{BO}{OC}\frac{CO}{OA}=1[/tex]

и прилагаме, синусови теореми.