Неравенство с логаритъм

[brennan]

трябва ми помощ за едно неравенство

[tex]\frac{2^x .2^1 -5.3^x }{2^x - 3^x . 3}[/tex] <1 вярно ли е ,че [tex] lg\frac{1}{32} [/tex] е решение на неравенството и защо ?

[Реклама]

[b1ck0]

Ми все пак е неравенство ... отоговора би трябвало да е в някакъв интервал ...

[Spider Iovkov]

[tex]\frac{2.2^x-5.3^x}{2^x-3.3^x}<1 \Rightarrow DM_{x}: 2^x-3.3^x \neq 0 \Leftrightarrow 2^x \neq 3.3^x \Leftrightarrow \frac{2^x}{3^x}\neq 3 \Leftrightarrow (\frac{2}{3})^x \neq 3 \Leftrightarrow x\neq log_{\frac{2}{3}}3[/tex]
Разделяме числителя и знаменателя на дробта отляво с положителното число [tex]2^x[/tex] и получаваме
[tex]\frac{\frac{2.\cancel {2^x}}{\cancel {2^x}}-\frac{5.3^x}{2^x}}{\frac{\cancel {2^x}}{\cancel {2^x}}-\frac{3.3^x}{2^x}}<1 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \frac{2-5(\frac{3}{2})^x}{1-3(\frac{3}{2})^x}<1[/tex].
Сега въвеждаме новото неизвестно [tex](\frac{3}{2})^x=t, t>0[/tex] и решаваме новото неравенство
[tex]\frac{2-5t}{1-3t}<1 \Leftrightarrow \frac{1-2t}{1-3t}<0 \Leftrightarrow (1-2t)(1-3t)<0 \Leftrightarrow t\in (\frac{1}{3}; \frac{1}{2})[/tex].
Този краен интервал е равнозначен на системата
[tex]\begin{array}{||}t>\frac{1}{3}\\t<\frac{1}{2}\end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{||}(\frac{3}{2})^x>\frac{1}{3}\\(\frac{3}{2})^x<\frac{1}{2}\end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{||}x>log_{\frac{3}{2}}\frac{1}{3}\\x<log_{\frac{3}{2}}\frac{1}{2}\end{array}[/tex].

[ганка симеонова]

Емо, не си отговорил на въпроса на задачата, запринадлежност .

[Spider Iovkov]

Да сравним даденото число с числото в десния край на интервала. Понеже не знаем реалния знак, който трябва да стои между тези две числа, ще го отбележим с [tex]?[/tex]. В такъв случай
[tex]\lg\frac{1}{32}?\log_{\frac{3}{2}}\frac{1}{2} \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \lg\frac{1}{32}?\log_{(\frac{2}{3})^{-1}}2^{-1} \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \lg\frac{1}{32}?\log_{\frac{2}{3}}2 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow 5\lg\frac{1}{2}?\log_{\frac{2}{3}}2 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow -5\lg2?log_{\frac{2}{3}}2 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \log_{10^{-\frac{1}{5}}}2?\log_{\frac{2}{3}}2 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \log_{\frac{3}{3.10^{\frac{1}{5}}}}2?\log_{\frac{2.10^{\frac{1}{5}}}{3.10^{\frac{1}{5}}}}2 \Rightarrow \lg\frac{1}{32}>\log_{\frac{2}{3}}2[/tex].
Тогава даденото число не е решение на неравенството.