Уравнение от осма степен

[Spider Iovkov]

Дадено е уравнението
[tex]5x^8-42x^5+280x^2+x-1=0[/tex].
Покажете, че то има един положителен и един отрицателен корен, и намерете тези корени.

[Реклама]

[NoThanks]

Първата част:
[tex]f(0)=-1[/tex]
[tex]\lim_{x\to\pm\infty}=+\infty[/tex]. От теоремата на Болцано следва, че у-ето има поне по 1 корен в (-безкрай;0) ; (0;безкрай). Виж да се намерят тези корени май ще е предизвикателство.(освен ако не излизат с Хорнер, че ме мързи да пробвам )
П.П това гарантира поне 1 отрицателен и положителен корен(не е казано, че трябва да са точно по 1)

[mkmarinov]

Виждаме, че f(-1) > 0, както и f(1) > 0 => уравнението има поне един корен в (-1;0) и (0;1). (1)
[tex]f'(x) = 40x^7-210x^4+560x+1[/tex]
[tex]f''(x)=280x^6-840x^3+560[/tex]
Намираме корените на втората производна и те са [tex]x_{d1}=1, x_{d2}=\sqrt[3]{2} [/tex]
Първата производна има екстремуми в тези 2 стойности, но е положителна и в двете точки => първата производна има само един корен => f(x) има точно един екстремум. Тъй като тя приема отрицателни стойности, то и този екстремум е под нулата => уравнението ни има точно 2 решения. От (1) се вижда, че единия е отрицателен, а другия положителен.

Успех с намирането им .

[Пафнутий]

Тука трябва да се разложи по подходящ начин, най-вероятно сума от точни квадрати.Наличието на 8 и 5-та степен подсказва за събираемо от вида на [tex](x^4+ax+b)^2[/tex], но като цяло разлагането наистина ще е гадно, поне на пръв поглед. Толкова от мен.

[v1rusman]

Най - вероятно си запознат, но решение на тази задача (с малко по - различно условие) има в 1 брой от списание Математика+ от 2008г.