Най- голямо произведение

[ганка симеонова]

В триъгълника АВС е взета точка О. Нека [tex]d_a, d_b, d_c [/tex] са разстоянията от О до правите [tex]BC, CA, AB .[/tex]
При какво положение на точката О произведението [tex]d_a.d_b.d_c [/tex] е най- голямо?

[Реклама]

[Baronov]

ATTENTION SPOILERS BELOW.

Нека дължините на страните са a, b, c. Разстоянията от О до страните на триъгълника са [tex]d_{a}, d_{b}, d_{c}[/tex], а лицето е S. Тогава от неравенството между средно аритметично и средно геометрично следва : [tex]2S = ad_{a} + bd_{b} + cd_{c}\geq 3(abcd_{a}d_{b}d_{c})^{\frac{1}{3}}[/tex]. От тук [tex]d_{a}d_{b}d_{c}\leq \frac{2S}{3(abc)^{\frac{1}{3}}} = const.[/tex], равенство се достига, тогава и само тогава, когато [tex]ad_{a}=bd_{b}=cd_{c}[/tex], т.е. когато О е медицентърър на АВС.