Да се намери сноп от криви

[zlobil]

Спрямо ортонормираната коорд. с-ма. К : Оху в равнината, са дадени точките:

А(-1, -1),

В(-3,1)

и правите

l : х - у = 0,

m: х - у + 4 = 0

Да се намери сноп криви от втора степен, допиращи се до правата l в точката А и до правата m в точката B.

Мерси

[Реклама]

[Infernum]

Общото уравнение на крива линия от втора степен има вида

(*) а₁₁x² +2а₁₂xy+а₂₂y² +а₁x+а₂y+а₃=0,

където коефициентите пред вторите степени не са едновременно нули.

От уравненията на правите се определят техните направляващи вектори, и тъй като правите са успоредни (вижда се от уравненията), направляващ вектор за двете прави е вектора p=(1, 1).
Нормалният вектор n, в произволна точка към кривите линии, е колинеарен с вектора градиент, чиито координати лесно се намират, като частни производни на функцията:

F(x,y)=а₁₁x² +2а₁₂xy+а₂₂y² +а₁x+а₂y+а₃

т.е.

n=(F_x, F_y)=(2а₁₁x+2а₁₂y+а₁, 2а₂₂y+2а₁₂x+а₂)

За да се допират кривите линии, в посочените точки до двете прави, трябва в тези точки направляващите вектори на правите да са ортогонални на нормалните вектори към кривите в тези точки. Тогава лесно се получават уравненията:

n*p=0|_{x=-3, y=1}

n*p=0|_{x=-1, y=-1},

които след пресмятане на вектора n в посочените точки, заместване и опростяване на скаларните произведения, водят до системата уравнения:

-6а₁₁+2а₂₂-4а₁₂+а₁+а₂=0
-2а₁₁-2а₂₂-4а₁₂+а₁+а₂=0

След сумиране на двете уравнения и след изваждането им се получава:

а₁₁=а₂₂=а
-4а₁₁-4а₁₂+а₁+а₂=0

От друга страна посочените точки B(-3, 1) и A(-1, -1) са точки, удовлетворяващи всяко от уравненията от множеството криви линии. Тогава координатите на тези точки трябва да удовлетворяват общото уравнение (*), което дава още 2 съотношения между неизвестните коефициенти.
Те са:

9а₁₁-6а₁₂+а₂₂-3а₁+а₂+а₃=0
а₁₁+2а₁₂+а₂₂-а₁-а₂+а₃=0

Като се комбинират тези две уравнения с горните две, се получава система от 4 уравнения с 6 неизвестни, т.е решението и ще бъде параметрично и ще зависи от 2 параметъра.
Като се реши тази система и като се положи а₁₂=b, за останалите коефициенти се намира:

а₁₁=а₂₂=а
а₁₂=b
а₁=4a
а₂=4b
а₃=2(a+b),

където a и b не се анулират едновременно.
Като се заместят тия коефициенти в общото уравнение (*), се намира уравнението

а(x² + y²) + 2bxy + 4ax + 4by + 2(a + b) = 0

на търсената фамилия криви линии от втора степен.