задача от аритметична прогресия(олимпиада 2003 11кл.1кръг)

[w00p00]

Задачата е следната:
За аритметичната прогресия а₁,а₂,а₃.... е в сила равенството:
S_m/S_n=m²/n² (m≠n; С_к сумата от първите к числа на прогресията)

Да се докаже:

1/(а₁а₂)+1/(а₂а₃)+.......+1/(а_n-1a_n=(n-1)(a₁²(2n-1))

Аз стигам до положение в което получавам m=n за 2а₁≠d от даденото, ако на някой му се занимава да я запише ще съм благодарен

[Реклама]

[gsinekliev]

Аз получавам, че сумата е равна [tex]\frac{n-1}{a_1^2(2n-1)}[/tex], което е малко по различно от твоя отговор.Сигурен ли си, че е така отговора.Ако моето решение се окаже вярно ще го постна.

[w00p00]

[dim]

От [tex]\frac{S_2}{S_1}=4[/tex]=>[tex]\frac{2a_1+d}{a_1}=4[/tex], [tex]d=2a_1 [/tex], значи имаме прогресията [tex]a_1,3a_1,5a_1,...,(2n-3)a_1,(2n-1)a_1[/tex]. => [tex]\frac{1}{a_1a_2}+\frac{1}{a_2a_3}+...+\frac{1}{a_{n-1}a_{n}}=\frac{1}{a_1{2}}(\frac{1}{3}+\frac{1}{15}+\frac{1}{35}+...+\frac{1}{(2n-3)(2n-1)})=\frac{1}{2a_1{2}}[(1-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})+(\frac{1}{5}-\frac{1}{7})+...+(\frac{1}{2n-3}-\frac{1}{2n-1})]=\frac{1}{2a_1{2}}(1-\frac{1}{2n-1})=\frac{n-1}{a_1{2}(2n-1)}[/tex].

[w00p00]