Успоредник

[ObsCure]

В успоредника ABCD т.М е средата на CD,т.N е от BC,като BN:NC=1:2,а т.P лежи на продължението на AB,като AP:BP=5:1.

а)Докажете,че точките M,N и P лежат върху една права и намерете отношението MN:NP.

б)Намерете уравнението на правата MN в координатна система с начало точката A и координатните вектори [tex]\vec{AB}[/tex] и [tex]\vec{AD}[/tex].

[Реклама]

[NoThanks]

За а):
[tex]\vec{MN}=\vec{MC}+\vec{CN}[/tex]
[tex]\vec{NP}=\vec{PB}+\vec{BN}[/tex]
[tex]\vec{MC}=\frac{1}{2}\vec{DC}[/tex]
[tex]\vec{CN}=\frac{2}{3}\vec{CB}[/tex]
[tex]\vec{PB}=\frac{1}{5}\vec{PA}[/tex]
[tex]\vec{BN}=\frac{1}{3}\vec{BC}[/tex]
=>[tex]\vec{MN}=\frac{1}{2}\vec{DC}+\frac{2}{3}\vec{CB}[/tex]
[tex]\vec{NP}=\frac{1}{5}\vec{PA}+\frac{1}{3}\vec{BC}[/tex]
[tex]\frac{1}{5}\vec{PA}=\frac{1}{4}\vec{BA} =>[/tex]
[tex]\vec{MN}=\frac{1}{2}\vec{AB}+\frac{2}{3}\vec{CB}[/tex]
[tex]\vec{NP}=\frac{1}{4}\vec{BA}+\frac{1}{3}\vec{BC}[/tex]
Сега се вижда, че [tex]\vec{MN}=-2\vec{NP}[/tex] откъдето 2-та вектора са колинеарни, и тъй като имат обща точка, то лежат на 1 права, т.е M,N,P са на 1 права и отношението е 2:1
По друг начин ли се иска да се реши

[ObsCure]

Добро решение,NoThanks.Не,няма нужда от други варианти