четиринадесетохилядник ?!

[Tosheca]

задачата е следната...
с f ще означа знака за integral
f sinx/(2+cosx-sinx)^2 dx

давана е на изпит по диференциялно и интегрално смятане...ще бъда благодарен ако някои успее да я реши и да престави съответното решение.

[Реклама]

[b1ck0]

[tex]\int \left( \frac{sinx}{(2+cosx-sinx)^{2}} \right) dx[/tex]

Това ли е то интеграла?
Като гледам какво се получава за отговор се чудя къде е даван този интеграл на изпит?

offtopic:
Предполагам че това е прословутия интеграл, на който са скъсани 14000 студента, и който няма решение ?

[Tosheca]

има решение ...а иначе,да за същия прословут integral става въпрос....

n.n в СУ

[b1ck0]

Отговора ли те интересува или метода на решение ?

[Tosheca]

аз метода го знам...интересува ме цялостното решение на задачата

[Tosheca]

не очаквам да стане на момента...но за други ден ми трябва,...дано има някои по-компетентен ..които да представи някфо решение :]

[stflyfisher]

[tex]\int \left( \frac{sinx}{(2+cosx-sinx)^{2}} \right) dx[/tex]

Това е интеграл от рацаонална функция на трионометричните функции синус и косинус.
Използва се универсалната субституция:

[tex] tg\frac{x}{2}=t[/tex]
[tex] x=2arctgt[/tex]
[tex]cosx =\frac{1-tg^{2}\frac{x}{2 } }{1+tg^{2}\frac{x}{2 } } =\frac{1-t^{2}}{1+t^{2} }[/tex]
[tex]sinx=\frac{2tg\frac{x}{2 }}{ 1+tg^{2}\frac{x}{2 } }=\frac{2t}{1+t^{2} } [/tex]
[tex]dx=\frac{2dt}{1+t^{2} }[/tex]

[tex]\int \left( \frac{sinx}{(2+cosx-sinx)^{2}} \right) dx = [/tex]
[tex]=\int \left(\frac{\frac{2t}{1+t^{2} } }{(2+\frac{1+t^{2}}{1+t^{2}}-\frac{2t}{1+t^{2} } )^{2} } \right)\frac{2}{1+t^{2} } dt = [/tex]
[tex]=4\int\frac{t}{(1+t^{2})^{2}\frac{(2+2t^{2}+1-t^{2}-2t)^{2}}{(1+t^{2})^{2} } }dt=[/tex]
[tex]=4\int\frac{t}{ (t^{2}-2t+3)^{2}}dt=[/tex]
Сега вече имаме интеграл от рационална функция на t и неразложим кв. тричлен на t и се прилага субституция на Хорнер:
[tex] t= z-\frac{b}{2a }=z+1[/tex]
[tex]z=t-1[/tex]
[tex] dt=dz[/tex]
[tex]=4\int\frac{z+1}{((z+1)^{2}-2(z+1)+3)^{2}} dz=4\int\frac{z+1}{(z^{2}+2z+1-2z-2+3)^{2} }dz=[/tex]
[tex]=4\int\frac{z+1}{(z^{2}+2 )^{2}} dz=4(\int\frac{z}{(z^{2}+2)^{2} }dz+\int\frac{1}{(z^{2}+2 )^{2}}dz) =[/tex]
[tex]=4.\frac{1}{2 } \int\frac{1}{(z^{2}+2)^{2} } d(z^{2}+2) +4\int\frac{1}{(z^{2}+2)^{2} } dz=[/tex]
Първия е табличен, втория- интегриране части
[tex] = -2\frac{1}{z^{2} +2} + 4\frac{z}{z^{2}+2 } -4\int z d(z^{2}+2)^{-2}[/tex]
[tex] = -2\frac{1}{z^{2} +2} + 4\frac{z}{z^{2}+2 } -4.(-2)\int\frac{z}{(z^{2}+2)^{-3} } dz=[/tex]
[tex] = - \frac{2}{ z^{2}+2} +\frac{4z}{(z^{2}+2)^{2} } +8.\frac{1}{2}\int\frac{d(z^{2}+2)}{(z^{2}+2)^{-3} }=[/tex]
[tex] =- \frac{2}{ z^{2}+2} +\frac{4z}{(z^{2}+2)^{2} } +4.\frac{(z^{2}+2)^{-2}}{-2 }=[/tex]
[tex]=- \frac{2}{ z^{2}+2} +\frac{4z}{(z^{2}+2)^{2} } -\frac{2}{ (z^{2}+2)^{2}}+C[/tex]
[tex] = 2\frac{2z-1}{(z^{2}+2)^{2} }- \frac{2}{ z^{2}+2}+C[/tex]

Остава само да се върнеш към функция на х въз основа на формулите от субституциите:
[tex]z=t-1, t=tg\frac{x}{ 2} [/tex]

[Tosheca]

И аз бях тръгнал по същия път...Мерси много!!!

[Tosheca]

тормози ме 1 нещо само...

[tex]4\int_{}^{ } \frac{1}{(z^{2 }+2)^{2 } }dz[/tex]
понеже това се води...самия 14-хилядник...а гледах че в един сборник се разписва по следния начин:
[tex]\int_{}^{ } \frac{1}{ (a^{2 } + x ^{2 }) ^{2 }}dx=[/tex]
[tex]\frac{1}{ a^{2 }} \int_{}^{ } \frac{a^{2 }}{ (a^{2 } + x ^{2 }) ^{2 }}dx= [/tex]
[tex] =\frac{1}{ a^{2 }} \int_{}^{ } \frac{a^{2 }+x^{2 } - x^{2 }}{(a^{2 } +x^{2 })^{2 }} dx =[/tex]
[tex]=\frac{1}{ a^{2 }} \int_{}^{ } \frac{1}{a^{2 } + x ^{2 }}dx - \frac{1}{ a^{2 }} \int_{}^{ } \frac{x^{2 }}{ (a^{2 } + x ^{2 }) ^{2 }} dx=[/tex]
[tex]=\frac{1}{a^{3 }} arctg \frac{x}{a } - \frac{1}{ a^{2}} \int_{}^{ } \frac{x.x}{ (a^{2 } + x^{2 })^{2 }} dx=[/tex]
[tex]=\frac{1}{a^{3 }} arctg \frac{x}{a } - \frac{1}{ 2a{2 }} \int_{}^{ } \frac{x}{(a^{2}+x^{2})^{2} } d(a^{2} + x^{2})=[/tex]
[tex]=\frac{1}{a^{3 }} arctg \frac{x}{a } + \frac{1}{ 2a^{2}} \int_{}^{ } xd(\frac{1}{ a^{2}+x^{2}} ) =>[/tex]
[tex]\frac{1}{a^{3 }} arctg \frac{x}{a } +\frac{1}{ 2a^{2}} . \frac{x}{ a^{2}+x^{2}} - \frac{1}{ 2a^{2}} \int_{}^{ } \frac{1}{a^{2}+x^{2} } dx=[/tex]
[tex]=\frac{1}{2a^{3 }} arctg \frac{x}{a } + \frac{1}{ 2a^{2}} . \frac{x}{a^{2}+x^{2} } - [tex]\frac{1}{ 2a^{3}} arctg\frac{x}{ a} + C=[/tex]
[tex]=\frac{1}{2a^{3 }} arctg \frac{x}{a } + \frac{1}{ 2a^{2}} .\frac{x}{ a^{2}+x^{2}} + C[/tex]