Трапец

[inspiron]

Даден е трапец ABCD. Голямата основа АВ е диаметър на окръжност, която се допира до основата CD и пресича бедрата AD и BC съответно в точки L и M , като [tex]\frac{BM}{MC } = \frac{AL}{LD} = k[/tex]
Ako [tex]\varphi =\angle BAD [/tex], да се изрази [tex]cos2\varphi [/tex] като функция на k
Най-доброто, до което успях да стигна е [tex]cos2\varphi= 1- \frac{k^{2}}{ 2cos\varphi^{2}(k+1)^{2}} [/tex]. не съм убеден, че това е търсения отговор
В предната подточка лесно се доказва, че трапецът е равнобедрен.

А ето и чертежът:

[Реклама]

[NoThanks]

Изразяваме всичко чрез AL:
[tex]\frac{AL}{LD}=k => LD=\frac{AL}{k} => AD=AL\frac{k+1}{k}=BC[/tex]. Сега ако допирната точка до CD e P, то: [tex]DP^2=DL.AD => \frac{AL}{k}AL\frac{k+1}{k}=AL^2\frac{k+1}{k^2} => DP=AL\frac{\sqrt{k+1}}{k}[/tex] [tex]2DP=CD=2AL\frac{\sqrt{k+1}}{k}[/tex]. Сега пускаме височината от D и C(DD1,CC1). Имаме: [tex]cos\alpha=\frac{AD_{1}}{AD}=>AD_{1}=AL\frac{k+1}{k}.cos\alpha=BC_{1} => AB=2AD_{1}+CD=2AL\frac{k+1}{k}cos\alpha + 2AL\frac{\sqrt{k+1}}{k} = \frac{2AL}{k}((k+1)cos\alpha+\sqrt{k+1})[/tex]Сега в триъгълника ABL. Имаме, че [tex]\angle{ALB}=90[/tex] (AB-диаметър) =>[tex]cos\alpha=\frac{AL}{AB} <=>\frac{2AL}{k}cos\alpha((k+1)cos\alpha+\sqrt{k+1}) = AL =>k=2(k+1)cos^2\alpha+2\sqrt{k+1}cos\alpha =>2(k+1)cos^2\alpha+2\sqrt{k+1}cos\alpha-k=0 \; D=k+1-2k(k+1)=k+1-2k^2-2k = -2k^2-k+1=(1-2k)(k+1) [/tex] Имаме ДС за к>0;k<=1/2 =>
[tex]cos\alpha=\frac{-\sqrt{k+1}\pm\sqrt{(1-2k)(k+1)}}{2(k+1)}[/tex] с минуса винаги е по-малко от 0 => ne =>[tex]cos\alpha = \frac{\sqrt{k+1}(-1+\sqrt{1-2k})}{2\sqrt{(k+1)^2}}=\frac{\sqrt{1-2k}-1}{2\sqrt{k+1}}[/tex]
Сега за [tex]cos2\alpha = 2cos^2\alpha - 1 = \frac{1-2k+1-2\sqrt{1-2k}-4k-4}{4(k+1)}=\frac{-2-6k-2\sqrt{1-2k}}{4(k+1)}=\frac{-1-3k-\sqrt{1-2k}}{2(k+1)}[/tex]

[ганка симеонова]

Ще ползваме че височината е равна на радиуса
[tex]\Delta AHD=>sin\varphi =\frac{R}{ (k+1)x} [/tex]
[tex]\Delta ALB=>cos\varphi =\frac{kx}{2R } =>2cos\varphi =\frac{kx}{ R} [/tex]
[tex]2sin\varphi cos\varphi =sin2\varphi =\frac{k}{k+1 } =>cos^2{2\varphi }=\frac{2k+1}{(k+1)^2 } [/tex].Лесно се съобразява, че [tex]2\varphi >90^\circ =>cos2\varphi=-\frac{\sqrt{2k+1} }{k+1 } [/tex]

[inspiron]

начина на г-жа Симеонова ми харесва повече. Благодаря и на двама ви!

[inspiron]

[NoThanks]

Формула за допирателна отсечка и секуща.

[inspiron]

Колкото и наивно да звучи от моя страна, би ли ми го доказал.

[NoThanks]

На чертежа - DB - допирателна и AD е секуща. Тогава [tex]\angle{DBC}=\frac{{\stackrel{\frown}{BC} }}{2}=\angle{BAC}[/tex] - съответно периферен и вписан ъгъл, измерващи се с 1 и съща дъга. Тогава [tex]\triangle{ABD} \approx \triangle{DBC}=> \frac{DB}{AD}=\frac{DC}{DB} => DB^2=AD.CD[/tex]