ТУ София 1995

[butty]

Здравейте, ще можете ли да ми помогнете с тази задача:
От точка M, лежаща вън от окръжността k(O;R), са прекарани допирателните MA u MBкъм окръжността( точките A u B лежат върху к), ъгълът между които е с големина а.
а) да се намери а, ако окръжността която се допира до отсечките MA u MB и до окръжността к, има радиус R/3 . Да се докаже, че за намерената стойност на а височините на ▲ AMB се пресичат в точка от окръжност k.
б) До пирателна към к пресича MA u MB съответно в точките L u N, точката O₁ е центърът на вписаната в OLN окръжност, а а е измежду стойностите, за които радиусът на описаната окръжност около O₁ LN е равен на R. Да се намери радиусът r на описаната окръжност около LMN.

[Реклама]

[inspiron]

а)
МО става ъглополовяща на [tex]\angle AMB[/tex]
Нека А' е допирателната на МА към втората окръжност, а О' е центъра на тази окр.
Тогава А'О'=R/3. Построяваме тр. ОО'Н, където [tex]\angle H = 90^\circ , H\in AO[/tex]
За този триъгълник
HO=R-R/3=2R/3
OO'=R+R/3=4R/3
тогава [tex]sin \angle OO'H=\frac{HO}{OO' } =\frac{1}{2 } [/tex] => [tex]\angle OO'H=30^\circ [/tex]
но този ъгъл е равен на [tex]\angle OMA=\frac{\alpha }{ 2}[/tex] => [tex]\alpha =60^\circ [/tex]
Лесно се вижда, че двете височини на АМО и ВМО ще се пресекат в една точка. Нека тя да е К. Разгл. АОК с [tex]\angle O=90^\circ - \frac{\alpha }{2 } =60[/tex] Тогава триъгълника е с остър ъгъл[tex] A =30^\circ [/tex] [tex]KO=\frac{AO}{2 }=\frac{R}{2 } [/tex]=>К е вътрешна точка за окр.

[butty]

Мога ли да попитам къде точно построяваме т.H и защо ъгълът H е равен на 90? Също как разбрахме че HO=R-R/3? Благодаря много!

[inspiron]

Ами както бях написал [tex]H\in AO[/tex] и [tex]\angle H=90^\circ [/tex], защото триъгълника е правоъгълен и [tex]HO'\bot AO[/tex]
А HO=R-(R/3), защото HO'A'A е правоъгълник и HA=O'A'=R/3