Да се докаже, че първите 2009 знака след десетичната запетая

[ганка симеонова]

Дадено че числото [tex](6+\sqrt{37} )^{2009} [/tex]
Да се докаже, че първите 2009 знака след десетичната запетая са нули.

[Реклама]

[Spider Iovkov]

Да рационализираме числителя на дробта, ще получим:
[tex](6+\sqrt{37})^{2009}=[\frac{(6+\sqrt{37})(6-\sqrt{37})}{6-\sqrt{37}}]^{2009}=(\frac{36-37}{6-\sqrt{37}})^{2009}=[\frac{-1}{-(\sqrt{37}-6})]^{2009}=(\frac{1}{\sqrt{37}-6})^{2009}[/tex].
И сега използваме, че [tex]\sqrt{37}-\sqrt{36}<0,1[/tex]. Представяме това неравенство като [tex]\sqrt{37}-6<\frac{1}{10}[/tex], повдигаме двете му страни на [tex]2009[/tex] степен и получаваме [tex](\sqrt{37}-6)^{2009}<(\frac{1}{10})^{2009} \Leftrightarrow 10^{2009}(\sqrt{37}-6)^{2009}<1 \Leftrightarrow (\frac{1}{\sqrt{37}-6})^{2009}>10^{2009}[/tex].

Дано е така, .

[ганка симеонова]

Това значи ли, че първите 2009 цифри след запетаята са 0?

[r2d2]

Топло, топло - ама студено!
А и истинските доказателства завършват с "което трябваше да се докаже" - на латински q.e.d., а не с дано да е така !

По-лесна зада4а, докажете че [tex](6+\sqrt{37})^3[/tex] има 3 нули след запетайката (точката).

[Пафнутий]

Ще докажем, че [tex](6+\sqrt{37})^n[/tex] има поне [tex]n[/tex] нули след десетичната запетая за [tex]\forall n\in\mathbb{N}[/tex].Понеже [tex](6,1)^2=37,21\Rightarrow 6<\sqrt{37}<6,1\Rightarrow 12<6+\sqrt{37}<12,1\Rightarrow 12^n<(6+\sqrt{37})^n<(12,1)^n[/tex], откъдето следва твърдението. Още повече- може да се обобщи и така:
[tex](m+\sqrt{37})^n[/tex] има поне [tex]n[/tex] нули след десетичната запетая за всяко [tex]n\in\mathbb{N}[/tex] и [tex]m\in\mathbb{Z}[/tex].Всъщност друго обобщение е и за [tex](m+r)^n[/tex] като [tex]m[/tex] и [tex]n[/tex] са същите, а [tex]r\in\mathbb{R}[/tex] изпълнява {[tex]r[/tex]}[tex]<0,1[/tex], където с {[tex]x[/tex]} бележим дробната част на [tex]x[/tex].

[the boy]

ииии как по точно от [tex] 12^{n}<(6+\sqrt{37})^{n}<(12,1)^{n} [/tex] следва твърдението???? Нали си наясно, че за големи n [tex] 12^{n} [/tex] и [tex] (12,1)^{n} [/tex] може да не са с равна цяла част, т.е. да имат разлика примерно 2 . Например от 8<9,21<10,1 нищо не следва за цифрите след десетичната запетая на 9,21.

[the boy]

и между другото [tex] (6+\sqrt{37})^{2} [/tex] няма две нули след десетичната запетая, а има две девятки ([tex] (6+\sqrt{37})^{2}=73+12\sqrt{37}<146[/tex] при [tex] 12\sqrt{37}< 73[/tex] което е еквивалентно на [tex] 5328<5329[/tex] , а че [tex] (6+\sqrt{37})^{2} [/tex] е повече от 145,1 е аналогично).

[r2d2]

Ето по-лесна зада4а:

Докажете, че[tex] (6+\sqrt{37})^3[/tex] има 3 нули след десетичната запетайка(то4ка).

[NoThanks]

Имаме, че първата цифра след десетичната запетая на [tex](6+\sqrt{37})[/tex] е 0. Или можем да си сметнем колко е [tex]\sqrt{37}[/tex] или просто ползваме, че [tex]\sqrt{37}>\sqrt{36}=6 \; \sqrt{37}<6,1=\sqrt{37,21}[/tex]. Т.е [tex]6+\sqrt{37}=12,0...=12,0k[/tex] където k = числото,получено от останалите цифри след запетаята. Сега, за да видим колко 0 ще има след запетаята, ни интересува само дробната част, т.е колко нули ще има [tex]A=0,0k*0,0k*\cdots*0,0k=k*10^{(-1-k)}*k*10^{(-1-k)}*\cdots*k*10^{(-1-k)}=k^{2009}*10^{(-2009-2009k)}[/tex](2009 пъти)
Сега имаме, че k може да е най-много [tex]100000...000=10^p[/tex](1 и p на брой нули). Тогава [tex]k^{2009}=10^{2009p}[/tex] А имаме:
[tex]10^{-2009k} = 10^{-2009*10^p}[/tex] И тъй като имаме: [tex]10^p>9p[/tex], то [tex]10^{-2009*10^p}>10^{-2009p}[/tex]Сега за изразът А имаме, че има повече от 2009p+2009 цифри след десетичната запетая, a числото k има най-много 2009p =>значи
[tex](6+\sqrt{37})^{2009} = x,000000...000k[/tex] поне 2009 нули

[the boy]

sorry брат ама и ти си се объркал. това колко нули ще има след запетая зависи не само от дробната част, ами и от цялата. Най-прост пример: [tex] (0,1)^{2}=0,01[/tex] докато [tex] (1,1)^{2}=1,21[/tex]. Както лесно може да се забележи първоначално дробните части са равни, но в произведението не са както е според теб

[r2d2]

[Пафнутий]

Признавам тука голяма излагация стана от моя страна Извинявам се за грешните обобщения и, че ви загубих времето да ми четете глупостите

[r2d2]

Решение на "по-простата" зада4а.
Означаваме[tex] x_1=6+\sqrt{37}, \; x_2=6-\sqrt{37}.[/tex]

Те са корени на уравнението [tex]x^2-12x-1=0.[/tex]

[tex]x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)^3-3x_1x_2(x_1+x_2)=12^3+3.12=1764.[/tex]

Toгава [tex](6+\sqrt{37})^3=1764-(6-\sqrt{37})^3=1764+(\sqrt{37}-6)^3.[/tex]

Но[tex] (\sqrt{37}-6)<0,1 \Rightarrow (\sqrt{37}-6)^3<0,001\Rightarrow (6+\sqrt{37})^3\le1764,001.[/tex]

[r2d2]

По общо:
Можем по индукция да докажем, че [tex]x_1^n+x_2^n = 12(x_1^{n-1}+x_2^{n-1})+1=A[/tex] е цяло.

Тогава [tex]x_1^{2009}=A-x_2^{2009}[/tex] и т.н.

Естествено задачата може (нормално е) да се реши с формулата за[tex] (a+b)^n[/tex] (Нютонов бином). Просто реших, че не всички я знаят.