Двойни интеграли

[b1ck0]

[tex] \int_{D} \int sqrt{x^2 + y^2} dxdy [/tex]
[tex] D: x^2 + y^2 - x = 0 [/tex],
ако беше само [tex]x^2 + y^2 = 4[/tex] нямам проблем това си е окръжност с радиус 2, правя си смяна на променливите и съм решил интеграла, но в този случай не знам какво трябва да правя ?

[tex] \int_{D} \int sqrt{16 - \frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4}} dxdy [/tex]
[tex]D: \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} \le 4[/tex],

За тази задача ... какво преставлява самата функция: Елипса ли е това? Пак ли в полярни координати трябва да работя?

Благодаря предварително!

[Реклама]

[r2d2]

[tex]x^2+y^2-x=0 \Rightarrow (x-1/2)^2+y^2=1/4[/tex]
За втората:
Положи [tex]x/6=\cos\mu;\ y/4=\sin\mu[/tex]

И да, контурът на областта е елипса! Виж функцията си е функция!

[b1ck0]

[tex] \int_{D} \int sqrt{x^2 + y^2} dxdy [/tex]
[tex] D: x^2 + y^2 - x = 0 [/tex]

[tex] D: (x- \frac{1}{2})^{2} + y^2 = \frac{1}{4} [/tex]

Това е окръжност която е отместена с [tex]\frac{1}{2}[/tex] на ляво от (0,0) и с радиус [tex]\frac{1}{2}[/tex].

Сега полагаме:
[tex]x = \rho cos \Theta [/tex]
[tex]y = \rho sin \Theta [/tex]
[tex]0 \le \rho \le \frac{1}{2} [/tex]
[tex]0 \le \Theta \le 2 \pi [/tex]

Следователно:
[tex]\Delta = \rho[/tex]

[tex]\int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{\frac{1}{2}} \left( \rho sqrt{\rho^{2} cos^{2} \Theta + \rho^{2} sin^{2} \Theta} \right) d \rho d \Theta = \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{\frac{1}{2}} \left( \rho sqrt{\rho^{2}} \right) d \rho d \Theta = \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{\frac{1}{2}} \left( \rho^{2} \right) d \rho d \Theta = \int_{0}^{2 \pi} \left( \frac{1}{24} \right) d \Theta[/tex]

[tex]\frac{1}{24}\int_{0}^{2 \pi} d \Theta = \frac{1}{24}2 \pi = \frac{\pi}{12}[/tex]

[b1ck0]

[tex] \int_{D} \int sqrt{16 - \frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4}} dxdy [/tex]
[tex]D: \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} \le 4[/tex]

[tex]D: \left(\frac{x}{3}\right)^{2} + \left(\frac{y}{2}\right)^{2} \le 2^{2}[/tex]

Полагаме:
[tex]x = 3 \rho cos \theta [/tex]
[tex]y = 2 \rho sin \theta [/tex]
[tex]\Delta = 2.3. \rho [/tex]
[tex]0 \le \rho \le 2[/tex]
[tex]0 \le \theta \le 2 \pi [/tex]

[tex]\int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{2}\left(6\rho sqrt{16 - \rho^{2} cos^{2} \theta - \rho^{2} sin^{2} \theta} \right)d \rho d \theta = \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{2}\left(6\rho sqrt{16 - \rho^{2} } \right)d \rho d \theta [/tex] ... и т.н.

[r2d2]

Първо: окръжността е преместена надясно, а не наляво.
Второ: ъгълът ти се мени от [tex]-\pi/2;\pi/2[/tex], a za[tex] \rho[/tex]- помисли но [tex] \rho[/tex] е функция от ъгъла.

[b1ck0]

Забележката за ъгъла за коя задача се отнася ... ? Нали логиката е да се "обходи" цялата фигура с тези координати ? Или пак бъркам нещо

[r2d2]

Забележките са по първата задача.

[b1ck0]

Еми ако ъгъла се изменя от [tex]-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}[/tex] то ние ще имаме "достъп" само до 1-ви - 4-ти квадрант ...... Не мога да разбера защо така се получава ?

[stflyfisher]

[b1ck0]

Значи доколкото разбирам изменението на полярните координати се отчита спрямо центъра на координатната система, а не от геометричния център на фигурата ?

[tex] \int_{D} \int sqrt{x^2 + y^2} dxdy [/tex]
[tex] D: x^2 + y^2 - x = 0 [/tex]

[tex] D: (x- \frac{1}{2})^{2} + y^2 = \frac{1}{4} [/tex]

Това е окръжност която е отместена с [tex]\frac{1}{2}[/tex] надясно от (0,0) и с радиус [tex]\frac{1}{2}[/tex].

Сега полагаме:
[tex]x = \rho cos \Theta [/tex]
[tex]y = \rho sin \Theta [/tex]
[tex]0 \le \rho \le 1 [/tex]
[tex]-\frac{\pi}{2} \le \Theta \le \frac{\pi}{2} [/tex]

Следователно:
[tex]\Delta = \rho[/tex]

[tex]\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{1} \left( \rho sqrt{\rho^{2} cos^{2} \Theta + \rho^{2} sin^{2} \Theta} \right) d \rho d \Theta = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{1} \left( \rho sqrt{\rho^{2}} \right) d \rho d \Theta = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{1} \left( \rho^{2} \right) d \rho d \Theta = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \left( \frac{1}{2} \right) d \Theta[/tex]

[tex]\frac{1}{2}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} d \Theta = \frac{1}{2} \pi =\frac{\pi}{2}[/tex]

[r2d2]

При фиксиран ъгъл [tex]\theta \;rho[/tex] се изменя от[tex] 0 \;do\; \cos \theta.[/tex]
Напиши си уравнението в полярни координати.

[b1ck0]

[tex] D: x^{2} + y^2 -x = 0[/tex]

[tex]x = \rho cos \Theta [/tex]
[tex]y = \rho sin \Theta [/tex]

[tex]\rho^{2}cos^{2}\Theta + \rho^{2}sin^{2}\Theta - \rho cos\Theta = 0 [/tex]

[tex]\rho^{2} - \rho cos\Theta = 0 [/tex]

[tex]\rho(\rho - cos\Theta) = 0 \Rightarrow 0 \le \rho \le cos\Theta[/tex]

[tex]\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{cos\Theta} \rho^{2} d\rho d\Theta =\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{cos^{3}\Theta}{3} d\Theta = \frac{2}{3}[/tex]

Така ли трябва да изглежда ?

[r2d2]

Да!
Но си написал уравнението на контура на областта Д.
Точките от Д удоволетворяват неравенството [tex]x^2+y^2-x\le 0.[/tex]
Мисля, че и в крайния отговор има грешка (провери го).

[b1ck0]

Ако имаме следното Д:
[tex]x^2 + y^2 - 2y = 0 [/tex], го преобразуваме до: [tex]x^2 + (y-1)^2 = 1[/tex],за да покажем че е окръжност, което ще оправдае използването на полярни координати:
[tex]x=\rho cos\Theta, y=\rho sin\Theta[/tex],които като заместим в уравнението на окръжността ще намерим как точно се изменят тези координати:
[tex]\rho^2 cos^2 \theta + \rho^2 sin^2 \theta - 2\rho sin\theta \le 0 \Rightarrow [/tex]
[tex]0 \le \rho \le 2sin\theta[/tex]
[tex]0 \le \theta \le \pi [/tex]

Това трябва да е вярно, ако съм разбрал правилно ....