Задача от анализ

[Spider Iovkov]

Квадратната функция [tex]f(x)=ax^2+bx+c[/tex] изпълнява условието [tex]|f(x)|\le 1[/tex] за всяко [tex]x\in [-1;1][/tex]. Да се докаже, че [tex]|f'(x)|\le 4[/tex] за всяко [tex]x\in [-1;1][/tex].

[Реклама]

[ferry2]

[tex]f'(x)=2ax+b \Rightarrow |f'(x)|\le 4\Leftrightarrow |2ax+b|\le 4\Leftrightarrow -4\le 2ax+b\le 4 \Leftrightarrow[/tex]

[tex]\Leftrightarrow \frac{-4-b}{2a}\le x\le \frac{4-b}{2a}[/tex]

но искаме да докажем за [tex]\forall x\in[-1;1]\Rightarrow \frac{-4-b}{2a}=-1[/tex] и [tex]\frac{4-b}{2a}=1[/tex]

[tex]\begin{tabular}{||}2a-b-4=0\\2a+b-4=0\end{tabular}[/tex] Събираме двете уравнения и получаваме [tex]4a-8=0\Rightarrow a=2\Rightarrow b=0[/tex]

Заместваме тези стойности в модула [tex]|2ax+b|\le 4[/tex] и получаваме [tex]|4x|\le 4\Leftrightarrow 4x\le 4 \Rightarrow x\le 1 [/tex] , което е вярно за [tex]\forall x\in [-1;1][/tex]

[r2d2]

[NoThanks]

Само идея: Имайки предвид, че [tex]|x|\le 1 \; |f(x)| \le 1[/tex] какво ни пречи да положим [tex]x=cos\varphi \; f(x)=cos(cos\varphi)[/tex] Тогава производната е [tex]f'(x)=sin\varphi sin(cos\varphi)[/tex] очевидно по-малко от 4.(което ме навежда на мисълта, че е грешно, но все пак да си питам, защото идеята ми се струва офертна)

[Baronov]

[NoThanks]

Нищо не мисля, че съм доказал, само питам. Струва ми се, че можем да разгледаме f(x) като [tex]f(x)=cos(cos\varphi)[/tex]. Като производната е съответно произведение на 2 синуса и по-малка или равна от 1/по-голяма или равна от -1. Коментарът ми в предния пост беше, че този начин ме съмнява точно защото равенството не се достига никога и дефакто 4 може да се замени с 1. Не съм казвал, че задачата е грешна.

[Baronov]

Аха ок.
Обаче полиномът [tex]f=2x^2-1[/tex], за който f'(1)=4, не те ли притеснява малко.

[NoThanks]

След като неравенството е изпълнено за всяко х от [-1;1], то в сила са:
[tex]|f(0)|=|c| \le 1[/tex]
[tex]|f(1)|=|a+b+c| \le 1[/tex]
[tex]|f(-1)|=|a-b+c| \le 1[/tex]
Тъй като [tex]c \in [-1;1][/tex] и като заместим в горните 2 неравенства излиза, че [tex](a+b) \in [-2;2][/tex]. Като съберем почленно долните 2 неравенства илиза [tex]a \in [-2;2][/tex], откъдето и [tex]b \in [-2;2][/tex]. Сега за производната имаме:
[tex]|f'(x)|=|2ax+b| \le |2a+b| = |a+b+a| \le |2+2| = |-2-2| \le 4[/tex]