Задача от група В, но малко по- трудна.

[ганка симеонова]

Основата на пирамида КАВС е правоъгълен триъгълник АВС с хипотенуза [tex]AB=a; \angle BAC=30^\circ [/tex]. Околната стена, която минава по катета АС е перпендикулярна на равнината на основата, а другите две стени образуват с основата ъгли, всеки от които е [tex]30^\circ [/tex]. Да се намерят оста и най- късото разстояние между КВ и АС.

[Реклама]

[NoThanks]

Имаме, че равнината [tex](ACK) \perp AC[/tex], сега за да намерим оста м/у 2те кръстосани прави остава само да проектираме ортогонално KB в равнината ACK.K остава в себе си, В отива в С. Сега трябва да намерим AH=?([tex]AH\perp KC[/tex]). Означаваме ОА=2х, ОО1=х. Тогава и OC=x(равни двустенни ъгли => еднакви ▲). Тогава AC=3x, a перпендикулярът от О към KC=x/2=OF. Един Питагор в АВС и намираме: [tex]x=\frac{a}{2\sqrt{3}[/tex]. Тогава [tex]\frac{OF}{AH}=\frac{1}{3}=\frac{\frac{a}{2\sqrt{3}}}{AH} =>AH=\frac{3a}{4\sqrt{3}}[/tex], което е и търсеното разстояние(О е ортогоналната проекция на върха К, лежаща в/у АС)

[ганка симеонова]

Опасявам се, че не е вярна задачата ти. Имаш грешка. Освен това не ми стана ясно къде е тази точка Н?

[NoThanks]

Сбъркал съм проекционна равнина, би трябвало да е KOP([tex]KP \perp AB[/tex]. Сега ще си оправя нещата.

[ганка симеонова]

Моля те, посочвай тези химерни точки, които въвеждаш къде лежат
О, Н?

[NoThanks]

Имаме [tex]KO \perp (ABC) => (POK)\perp AC[/tex]. Освен това [tex]BP\perp OP ;\ BP\perp PK => BP \perp (POK) => B ----> (ortogonalno v POK) = P[/tex] Сега търсеното разстояние е от О до PK. Вече сме намерили [tex]x=OP=\frac{a}{2\sqrt{3}}[/tex] Имаме и ъгъл 30 градуса. откъдето намираме, че търсеното разстояние (перпендикуляра от О към KP) е

1/2х = [tex]\frac{a}{4\sqrt{3}}[/tex]
П.П Сега ще тресна и 1 чертеж.
(въпросното разстояние е ОH)

[r2d2]

Не, че разбирам нещо (Ганка правилно говори за "химерни" точки), ама това не ми прилича на вярно!
Какво е О?

Ос-отсечка е отсечка перпендикулярна на двете прави, с краища в/у тях. "Енигматичната" ОН не е тази (ясно защо). Не, че смятам, че построяването и е съществено.

[ганка симеонова]

И на мен не ми прилича на вярно

[NoThanks]

О е проекцията на върха на пирамидата в равнината на основата, OP и КP са перпендикулярни на АB. имаме, че равнината KOP е перпендикулярна на едната кръстосана права(AC)., прободът с въпросната права е О, КP е ортогоналната проекция на другата кръстосана права в тази равнина(BK), тогава оста отсечка е разстоянието от О до KP. Или поне аз така знам. Мисля, че и r2d2 го беше показвал този метод някъде из форума?
edit: http://www.math10.com/forumbg/viewtopic.php?t=5783

[_sssss]

За разстоянието м/у AC и KB май получих: [tex]\:\:\normal \frac{a}{4sqrt5}[/tex].
Топло, студено, ледено?

[ганка симеонова]

Топло, но не и горещо. Разстоянието е [tex]\frac{a\sqrt{10} }{20 }[/tex]

[NoThanks]

Драснах нещо с вектори, доста е грубичко и май съм объркал пак сметките, но след толкова писане се чувствах длъжен да постна Извинявам се за грознописа си А и не разбрах кое му е грешното на предишния начин

[r2d2]

Малка промяна [tex]AB=2a [/tex](за по-малко писане ).
Ясно е, че проекцията на върха лежи на АС. Понеже двете околни стени сключват равни ъгли с основата , върхът се проектира върху ъглополовящата на ъгъл АВС.
Разбираме, че проекцията на върха е петата на ъглополовящата - L.
Лесно се съобразява, че линейният ъгъл на ъгъла при ръба ВС е KCL=30.

Намираме [tex]AC=a\sqrt{3}, \;CL=a\frac {\sqrt{3}}{3}, \; KL=CL\tan30=a/3[/tex].

През L построяваме права [tex]m || BC[/tex]. Равнината определена от KL и m е перп. на АС. Понеже К е в тази равнина е достатъчно да намерим проекцията на В. Построяваме ВВ1 усп. на АС. Сега от L спускаме перп. към КВ1 - LH. Търсеното разстояние е дължината на LH.

[tex]LB_1=BC=a, \; KB_1=a\frac{\sqrt{10}}{3}, \2S=LB_1\cdot KL=KB_1\cdot LH, \; LH=\frac {a}{\sqrt{10}}[/tex]. Истинският отговор е два пъти по-малък.

Мисля да оставя снимките на трите страници с векторите няколко дни за да видят хората какво безумие са векторите, а после да изтрия !