Издирват се красиви задачки за вписани и описани окръжности

[Damn it!]

Така... предполагам е ясно за какво става въпрос.
Задачките с материал до 9ти клас, разбира се, но може и леки разширения от типа на Менелай, Чева, Талес, подобни триъгълници, хомотетия etc.
Само да нямат синуси и косинуси

[Реклама]

[r2d2]

Даден е остр. триъгълник АВС. Медианите AM,BN,CP пресичат описаната окр., в точки А1,В1,С1. Точките А2,В2,С2 са симетричните на А1,В1,С1 относно средите M,N,P на страните на триъгълника.

Докажете, че А2,В2,С2 и Н лежат на една окръжност. Н - ортоцентърът на АВС.

[Пафнутий]

Общо взето голяма част от задачите за 9 клас от ЗМС ще ти свършат работа

[ins-]

http://www.math10.com/forumbg/viewtopic.php?t=6069

опитай с тази

[Damn it!]

Тази красивата задачка с грозния чертеж я решавахме във влака, като отивахме към Бургас на ЗМС, и накрая буквално я натаманихме с метод на граничните случаи a.k.a. "метода на пътуващия търговец" xD
Главната идея е, че Е принадлежи на ГМТ отсечката AD, което притежава някакви свойства. Проверяваме случаите, в които Е≡А и Е≡D, които се явяват гранични, и щом става за тях, значи става за всички xD
Т'ва си е направо измъкване от задачката, ако питате мен
Иначе излиза, само че не можахме да докажем, че BG и CE, както и DG и CF се пресичат върху окръжността :\
А задачката на r2d2 е доста интересна, в момента я мисля... и разбира се не мога да я измисля xD
Благодаря на отзовалите се
И нямам нищо против да пускате още
П.П: Поздрав с Accept - Can't Stand the Night

[Pinetop Smith]

Даден е четириъгълник АВСD, който е вписан в окръжност. Нека Н_А е ортоцентър на триъгълник BCD. Отсечката АН_А се нарича височина на четириъгълника. Аналогично са дефинирани другите 3 височини. Да се докаже, че четирите височини на четириъгълника и правите на Симпсън през А, В, С и D съответно за триъгълниците BCD, CDA, DAB и АВС се пресичат в една точка.

[ins-]

Най-напред - радвам се, че има хора, които се опитват да решават задачи, като тази, която предложих. Това определено не е решението, но ако искате да видите две решения - мога да пусна линк.

Ето и втора красива задача от мен. Успех!

Две окръжности к1 и к2 се пресичат в точките A и B. През т. А е прекарана права, която пресича за втори път к1 в т. С, а к2 - в т. D. Ако M и N са средите на дъгите ВС и СD, не съдържащи т. А, a P e среда на отсечката CD - да се докаже, че <MPN e прав.
(Можем да считаме, че C и D лежат от различни страни на точката А.)

Ако искате повече задачи - пишете - имам няколко хиляди задачи от олимпиади.
Ще се радвам да съм полезен!

[ins-]

Извинявам се за спама, но се сетих за още 2 красиви задачи:

1. http://agutie.homestead.com/Files/miquel_pentagram1.htm

2. Даден е триъгълник - в него са построени медианите. По този начин се получават 6 триъгълника. Да се докаже, че центровете описаните окръжности, около новополучените триъгълници лежат на една окръжност.

По красиви ... здраве му кажи

[Damn it!]

С дооооооста помощ от г-жа Куюмджиева задачата за симетричните точки бе решена! *потупва се гордо по гърдите*
Ето решението:

[Пафнутий]

Не знам дали тази отговаря на критерия ти за красота, но на мен лично ми харесва:
Даден ти е вписан четириъгълник [tex]ABCD[/tex].Диагоналите му се пресичат в точка [tex]T[/tex]. Нека т.[tex]O[/tex] да е центъра на описаната около [tex]\Delta ABT [/tex]окръжност, а т.[tex]H[/tex] - ортоцентър в [tex]\Delta CTD[/tex]. Да се докаже, че [tex]O,T,H[/tex] лежат на 1 права.

[r2d2]

http://www.math10.com/forumbg/viewtopic.php?t=8684

В условието няма нито една окръжност!