Задача от група В, но ужасно лесна

[Spider Iovkov]

Основата на пирамидата [tex]ABCD[/tex] е [tex]\triangle ABC[/tex], като [tex]AB=8[/tex] и [tex]AC-BC=2[/tex]. Околните стени образуват с равнината на основата ъгли, равни на [tex]30^\circ[/tex], а височината (апотемата) към [tex]AB[/tex] в стената [tex]ABD[/tex] е по-голяма от височината на пирамидата с [tex]1[/tex]. Да се намерят [tex]AC[/tex] и [tex]BC[/tex].

[Реклама]

[NoThanks]

Едит: взел съм ъгъл м/у ръб и основа, вместо м/у стена и основа. брб
Сега вече с правилното условие:
h+1=2h => h=1. Сега с 1 пирагор намираме радиуса на вписаната в основата окръжност. От там ползваме, че ъгъла м/у ълопол е 90+Ц/2. една тригонометрична ф-я и го намираме и него. Сега една косинусова Тх и намираме страните. А може и S=pr S=AC.BC.sin(gama)/2 => gama==

[Spider Iovkov]

Да означим като за начало [tex]AC=x, BC=x-2[/tex]. Тъй като всички двустенни ъгли са равни, то върхът [tex]D[/tex] ще се проектира в центъра на вписаната в основата окръжност, например [tex]O[/tex]. Нека апотемата в стената [tex]BCD[/tex] да е [tex]DK[/tex]. Очевидно е, че [tex]DK\bot BC[/tex]. Ортогоналната проекция на тази апотема е [tex]OK[/tex], при което [tex]OK=r \Rightarrow OK\bot BC \Rightarrow \angle OKD=30^\circ[/tex]. Срещулежащият на този ъгъл катет е [tex]DO \Rightarrow KD=2DO \Leftrightarrow DO+1=2DO \Leftrightarrow DO=1 \Rightarrow KD=2[/tex] (произтича от условието). От [tex]\triangle DOK \Rightarrow \tan60^\circ=\frac{OK}{DO} \Leftrightarrow OK=DO\tan60^\circ \Leftrightarrow OK=\sqrt{3}[/tex].
Сега, изразявайки лицето на основата по два начина, ще получим:
[tex]\begin{array}{||}S=pr\\S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\end{array} \Rightarrow \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=pr[/tex].
Но [tex]p=\frac{AB+BC+AC}{2} \Leftrightarrow p=\frac{x+x-2+8}{2} \Leftrightarrow p=x+3[/tex].
Заместваме този израз в гореполученото и достигаме до
[tex]\sqrt{(x+3)(x+3-8)(\cancel x+3-\cancel x)(\cancel x+3-\cancel x+2)}=(x+3)\sqrt{3} \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \cancel 3.5\cancel {(x+3)} (x-5)=\cancel 3 \cancel {(x+3)} (x+3) \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow 5x-25=x+3 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow x=7 \Leftrightarrow AC=7 \Rightarrow BC=5[/tex].