ВВМУ-1998

[Алекс]

В триъгълника АВС е вписана окръжност с радиус r и са построени трите и допирателни успоредни на страните на АВС.Тези допирателни отсичат от дадения триъгълник АВС три по-малки триъгълника във всеки от които е вписана окръжност а) Да се пресметне сумата от дължините на четирите окръжности б)Нека R е радиусът на описаната окръжност около АВС , р е полупериметърът му , а S е лицето на шестоъгълника , описан около окръжността с радиус r и получен след отсичането на трите по -малки триъгълника .Д се докаже че : S=2r^2(r + R)/p ,където само r е на квадрат. Моля някой да я реши....

[Реклама]

[ганка симеонова]

a)Триъгълниците АВС и АFL очевидно са подобни. Тогава ако означим с
[tex]p_1=p_{AFL}; r_1=r_{AFL}; k1- [/tex] коефициента на подобие на малкия към големия=>[tex]k_1=\frac{p_1}{ p}=\frac{r_1}{ r} =>r_1=\frac{p_1}{ p} r [/tex]
[tex]2p_1=AL+AF+LF=AL+AF+LP+FT=AP+AT=2AP=2(p-a)=>p_1=p-a [/tex]
Аналогично за другите два отсечени триъгълника KBD и NJC=>[tex]p_2=p-b; p_3=p-c [/tex]=>
[tex]r_2=\frac{p_2}{ p} r; r_3=\frac{p_3}{ p} r=>r_1+r_2+r_3+r=\frac{r}{p } (p-a+p-b+p-c+p)=2p\frac{r}{p }=2r [/tex]
б) Ако означим лицата на малките съответно с [tex]S_1; S_2; S_3 [/tex], а лицето на АВС като [tex]S^*=>S_1=\frac{(p-a)^2}{p^2 }S^* ; S_2=\frac{(p-b)^2}{p^2 }S^* ; S_3=\frac{(p-c)^2}{p^2 }S^* [/tex]
=>[tex]S=S^*-(\frac{(p-a)^2}{p^2 }+\frac{(p-b)^2}{p^2 }+\frac{(p-c)^2}{p^2 }) S^*=\frac{pr}{p^2 }(p^2-(p-a)^2-(p-b)^2-(p-c)^2) =\frac{r}{ p}(2p^2-(a^2+b^2+c^2)) [/tex]

Равенството [tex]a^2+b^2+c^2=2(p^2-r^2-4Rr) [/tex] се доказва сравнително лесено ( опитай се да го докажеш) и остава да заместиш.
Но се получава [tex]S=\frac{2r^2}{ p} (r+8R) [/tex] (предполагам, че си сбъркал при писането)