Задачи за Ker Im и Фи

[borku]

Ето ги задачките...

[Реклама]

[Hannibal]

Хубаво ще е nikko1 да хвърли един поглед ,ама...
Долната 2-ра задача а) е подобна на
http://www.math10.com/forumbg/viewtopic.php?t=8470
само,че тук е с по-големи сметки.

[be3gomhuk]

[martingale]

задачите се решават, както винаги в линейната алгебра...

map-вате базисните елементи и това което се получи го пишете в матрица, която след това преобразувате.

[nikko1]

[tex]\mathbb{U}=l(a_1,\,a_2,\,a_3)[/tex]
[tex]\left(\begin{array}{rrrr}2&1&1&1\\0&1&-1&2\\-4&1&-5&4\end{array}\right)\longrightarrow^{R_3+2R_1}\left(\begin{array}{rrrr}2&1&1&1\\0&1&-1&2\\0&3&-3&6\end{array}\right)\longrightarrow^{R_3-3R_2}\left(\begin{array}{rrrr}2&1&1&1\\0&1&-1&2\\0&0&0&0\end{array}\right),[/tex] следователно a3 е линейно зависим от а1 и а2, т.е. [tex]\mathbb{U}=l(a_1,\,a_2).[/tex]
За да намерим [tex]\mathbb{W}[/tex] решаваме хомогенната система и определяме фундаментална система решения. Ясно е, че двете уравнения в нея са линейно независими, следователно решенията зависят от 2 параметъра. Нека те са [tex]x_1=p,\ x_2=q.[/tex] Тогава [tex]x_3=p-q,\ x_4=p+2q.[/tex]
Даваме стойности на параметрите
[tex]p=1,\ q=0,\,w_1=(1,\,0,\,1,\,1),[/tex]
[tex]p=0,\ q=1,\,w_2=(0,\,1,\,-1,\,2).\ \mathbb{W}=l(w_1,\,w_2)[/tex]
Базис на U - a_1, a_2. Базис на W - w_1, w_2.
За да намерим базис на U+W пишем матрицата от базисите на двете пространства
[tex]\left(\begin{array}{rrrr}2&1&1&1\\0&1&-1&2\\1&0&1&1\\0&1&-1&2\end{array}\right)\longrightarrow_{R_4-R_2}^{R_3-\frac{1}{2}R_1}\left(\begin{array}{rccc}2&1&1&1\\0&1&-1&2\\0&-1/2&1/2&1/2\\0&0&0&0\end{array}\right)\longrightarrow^{R_3+\frac{1}{2}R_2}\left(\begin{array}{rccc}2&1&1&1\\0&1&-1&2\\0&0&0&3/2\\0&0&0&0\end{array}\right).[/tex]
Тогава [tex]\mathbb{U}+\mathbb{W}=l(a_1,\,a_2,\,w_1).[/tex]
Ще намерим базис на сечението, като имаме предвид, че [tex]3=\dim(\mathbb{U}+\mathbb{W})=\dim\mathbb{U}+\dim\mathbb{W}-\dim(\mathbb{U}\cap \mathbb{W})=2+2-\dim(\mathbb{U}\cap \mathbb{W}), [/tex] т.е. търсеното подпространство има размерност 1. Очевидно е, че [tex]a_2=w_2[/tex] и значи [tex]\mathbb{U}\cap \mathbb{W}=l(a_2).[/tex]

б) За всеки линеен оператор имаме [tex]\mathbb{V}=\mathbb{R}^4=\text{Im}\,\varphi\oplus\text{Ker}\,\varphi[/tex] или сечението на ядрото и образа е нулевия вектор, но в този случай сечението на ядрото и образа е [tex]\mathbb{U}\cap \mathbb{W}[/tex], което има размерност 1. Следователно не съществува такъв линеен оператор в [tex]\mathbb{R}^4.[/tex]
---
Ако сечението е празно, то базиса на ядрото и базиса на образа щяха заедно да образуват базис на цялото пространство и стигаме до матрично уравнение за незивестна матрица X на оператора [tex]\varphi,[/tex] използвайки:
[tex]X.a_i=a_i\,,[/tex] за всяко [tex]a_i[/tex] от базиса на [tex]\text{Im}\,\varphi;[/tex]
[tex]X.b_j=0,[/tex] за всяко [tex]b_j[/tex] от базиса на [tex]\text{Ker}\,\varphi.[/tex]