Геометрична изпитна задача

[inspiron]

Даден е кръгов сегмент, ограничен от хордата АВ и дъгата има мярка [tex]{\stackrel{\frown}{AB}=\alpha [/tex], където [tex]\alpha <180^\circ [/tex]. Отсечката МN е перпендикулярна на хордата AB, като [tex]M\in AB[/tex] и [tex]N\in {\stackrel{\frown}{AB}[/tex]. Нека [tex]{\stackrel{\frown}{BN}[/tex]= х . [tex]{\stackrel{\frown}{AN}[/tex] и ВМ = у.АМ.
а) Изразете у като функция на х

[Реклама]

[NoThanks]

Продължаваме перпендикуляра докато не пресече окръжността в точка К. От Питагорови теореми в триъгълниците AMK и BMK имаме(MK=h):
[tex]AK^2 = b^2+h^2[/tex]
[tex]BK^2=b^2y^2+h^2[/tex]
=>[tex]AK^2-BK^2=b^2-y^2b^2[/tex].
Сега ще ползвам, че за да се перпендикулярни диагоналите на 1 четириъгълник НДУ е сборът от квадратите на срещуположните му страни да е равен(за справка виж секцията четириъгълници на сборника на Чакърян).
[tex]AN^2+BK^2=BN^2+AK^2 => AK^2-BK^2 = AN^2-BN^2 = b^2-y^2b^2=a^2-a^2x^2[/tex] Косинусова теорема за триъгълник ANB<ANB= [tex]180-\frac{\alpha}{2})[/tex]
[tex]=> b^2(1+y)^2=a^2+a^2x^2+2a.ax.cos(\frac{\alpha}{2})[/tex] От предния израз, който получихме обаче имаме: [tex]a^2=b^2-(by)^2+(ax)^2[/tex]
=>[tex]b^2y(1+y)=a^2x(cos(\frac{\alpha}{2})+x) <=> y+y^2=\frac{a^2x(cos(\frac{\alpha}{2}) +x)}{b^2}[/tex]
По условие обаче [tex]{\stackrel{\frown}{BN}[/tex]= х . [tex]{\stackrel{\frown}{AN}[/tex] =>[tex]{\stackrel{\frown}{\frac{AN}{2}}=\varphi =>{\stackrel{\frown}{\frac{BN}{2}=x\varphi =>\varphi(1+x)=\frac{\alpha}{2} = \angle{AKB} =>\angle{ABN}=\frac{\alpha}{2(1+x)}[/tex] [tex]\angle{BAN}=180-(180-\frac{\alpha}{2}-\frac{\alpha}{2(1+x)}) = \frac{\alpha(2+x)}{2(1+x)}[/tex] В ▲АМN:
[tex]\frac{1}{cos(\angle{BAN})} = \frac{a}{b}=\frac{1}{cos(\frac{\alpha(2+x)}{2(1+x)})}[/tex]
=> [tex]y^2+y = \frac{x(cos(\frac{\alpha}{2}+x)}{cos^2(\frac{\alpha(2+x)}{2(1+x)})}[/tex]
Което е едно хубавко квадратно у-е за у, откъдето намираш y=f(x) и си свиркаш. Абе направо красота

[_sssss]

А така става ли?

[tex]{\stackrel{\frown}{AN}+x{\stackrel{\frown}{AN}=\alpha[/tex]

[tex]{\stackrel{\frown}{AN}=\frac{\alpha}{x+1}; \: \: \: \:{\stackrel{\frown}{BN}=\frac{x \alpha}{x+1}[/tex]

[tex]\angle ABN= \frac{\alpha}{2(x+1)}; \: \: \: \: \angle BAN=\frac{x \alpha}{2(x+1)}[/tex]

[tex]\frac{BM}{MN}=cotg{\frac{\alpha}{2(x+1)}}; \: \: \: \: \frac{AM}{MN}=cotg{\frac{x \alpha}{2(x+1)}}[/tex]

[tex]y=\frac{BM}{AM}= \frac{cos{\frac{\alpha}{2(x+1)}}*sin{\frac{x \alpha}{2(x+1)}}}{cos{\frac{x \alpha}{2(x+1)}}*sin{\frac{\alpha}{2(x+1)}}}[/tex]

[tex]y=\frac{sin{\frac{\alpha}{2}} + sin{\frac{\alpha(x-1)}{2(x+1)}}}{sin{\frac{\alpha}{2}} + sin{\frac{\alpha(1-x)}{2(x+1)}}}[/tex]

[NoThanks]

Прав(а) си, то решението е на 5 реда! Аз тва за ъглите го включих чак към края на моите писания, когато се чудех откъде да намеря връзка м/у а и b.

[inspiron]

благодаря и на двама ви!

[inspiron]

но за съжаление ще ми трябва още помощ
б) Ако [tex]y=f(x)[/tex] и [tex]\alpha =150^\circ [/tex], пресметнете [tex]\lim_{x\to\0}\frac{f(x)}{ x} [/tex]
Имам някакви догадки, които не знам дали са верни, но все пак ще ги споделя (с риск да се изложа). При х=0 [tex]N\equiv B[/tex] => [tex] M\equiv B\equiv N[/tex]=>y=0. Тогава прилагам Лопитал за неопределеност от [tex][\frac{0}{0 } ][/tex] и т.н. Глупости ли са това което мисля?

[inspiron]

отговора, който получих за моите "глупости" е [tex]\frac{5\pi (\sqrt{6}-\sqrt{2} ) }{6} [/tex]. много ще се радвам на по-сполучливо решение без използване на Лопитал.

[ганка симеонова]

[tex]y=\frac{sin{\frac{\alpha}{2}} + sin{\frac{\alpha(x-1)}{2(x+1)}}}{sin{\frac{\alpha}{2}} + sin{\frac{\alpha(1-x)}{2(x+1)}}} =y=\frac{sin{\frac{\alpha}{2}} + sin{\frac{\alpha(x-1)}{2(x+1)}}}{sin{\frac{\alpha}{2}} - sin{\frac{\alpha(x-1)}{2(x+1)}}}[/tex]
Приложи в числител и знаменател формулите за сбор и разлика .

[inspiron]

така не се ли връщам обратно към а). получава се както и seppen написа
[tex]y=\frac{BM}{AM}= \frac{cos{\frac{\alpha}{2(x+1)}}*sin{\frac{x \alpha}{2(x+1)}}}{cos{\frac{x \alpha}{2(x+1)}}*sin{\frac{\alpha}{2(x+1)}}}[/tex]

[tex]tg\angle BAN.cotg\angle ABN[/tex]

[ганка симеонова]

[tex]lim(tg\frac{\alpha x }{2(x+1) }.cotg\frac{\alpha }{ 2(x+1)}\frac{1}{ x} ) =lim((tg\frac{\alpha x }{2(x+1) }.\frac{1}{\frac{\alpha x}{2( x+1} ) }).\frac{\alpha }{2(x+1) }. cotg\frac{\alpha }{ 2(x+1)}) =\frac{\alpha }{ 2} \frac{cotg\alpha }{2 }=\frac{5\pi }{12 }.cotg\frac{5\pi }{ 12} [/tex]

[inspiron]

извинявайте, но нещо не мога да го разбера . виждам че умножаваме по 1, но липсва един х или пък е сложен допълнително. а след това как излезна това [tex]2\alpha [/tex] извън tg. някаква формула ли е? (сега звуча като повечето user-и в форуми, които са се регистрирали за домашни) а и имаме едно деление на х за lim [tex]\lim_{x\to\0} \frac{y}{x} [/tex] моля Ви да ми го обясните

[ганка симеонова]

Звучиш чудесно. Грешката беше моя и я поправих. Първо бях пропуснала онзи х в знаменател в границата и после бях оплескала положението на едната двойка.
Понеже при граничен преход границата на отношението на тангенса и х клони към [tex]\frac{0}{ 0} [/tex], което е неопределена форма, умножих и разделих, така че в знаменател да получа аргуманта на тангенса. Тогава съответната граница е 1.

[inspiron]

вече всичко е ясно и много благодаря!