Девети клас, трети кръг - 1986г.

[blqaa]

Дадени са числата 1,4,7,10.....,100. От тях са избрани 19. Да се докаже, че сумата на някои две от 19-те числа дели 104.

[Реклама]

[dim]

Общият член на редицата е [tex]a_n=1+3(n-1)[/tex], [tex]1\le n\le 34[/tex].Нека [tex]a_p+a_q=104[/tex]<=>[tex]1+3(p-1)=1+3(q-1)[/tex]<=>[tex]p+q=36[/tex]. Задачата се свежда до въпроса дали ако изберем 2 числа в интервала [tex][1,34][/tex], ще имаме поне 2 числа със сбор 36. Единствено ако изберем 1 или 18 няма да можем да допълним до 36, така че избираме тях и още 16, на които съответстват 16 допълващи до 36. Дотук имаме 18 избрани числа и ако изберем още едно то неминуемо ще попадне измежду някое от допълващите до 36 на избраните вече-[tex]2+16.2=34[/tex].

ПП. В условието много общо е казано "да дели 104", защото всъщност винаги можем да изберем 2 числа със сбор 104.

[blqaa]

[dim]

Решението ти е точно като моето, само че ти работиш със стойностите на прогресията (1,3,4,10,...,100), а аз с номерата на членовете и, защото ми е по яко така. Като ти говоря за числата 1 и 18 то е същото като да говоря за номера на които съответстват стойности съответно 1 и 52, дето ти си използвал. А що се отнася до първото нещо което не разбираше-просто е очевидно, че по невнимание на едното място съм щтракнал не "19" а "2". Сега разбираш ли за какво ти говоря и че решението ми е абсолютно вярно?(да не говорим и че е еднакво с твоето).

[blqaa]

Никъде и никога не съм подлагал на съмнение верността му, просто не го разбрах - това е