Задача за обратима матрица.

[borisoff]

От миналата година на изпита е давана следната задача:


Според мен решението е когато det A≠0 матрицата е неособена => и обратима по теорема. И от тук следва че параметъра може да приема всякаква стойност т.е. [tex]\lambda \in[/tex] F или не знам как точно да го запиша. Така ли е решението?

[Реклама]

[nikko1]

Не, не е. Вземи [tex]n=3,\ \lambda=-2[/tex] и ще се убедиш

[borisoff]

А по какъв начин се решава?

Според мен при n нечетно, λ≠-2, но това как да се обясни със елементи на линейната алгебра?

[nikko1]

А ето и решението.
[tex]\Delta=\left|\begin{array}{cccccc}\lambda&2&0&\dots&0&0\\0&\lambda&2&\dots&0&0\\0&0&\lambda&\dots&0&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\dots&\vdots&\vdots\\0&0&0&\dots&\lambda&2\\2&0&0&\dots&0&\lambda\end{array}\right|.[/tex] Развиваме по първи стълб.
[tex]\Delta=\lambda(-1)^{1+1}\Delta_{11}+2(-1)^{n+1}\Delta_{n1}=\lambda\left|\begin{array}{cccccc}\lambda&2&0&\dots&0&0\\0&\lambda&2&\dots&0&0\\0&0&\lambda&\dots&0&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\dots&\vdots&\vdots\\0&0&0&\dots&\lambda&2\\0&0&0&\dots&0&\lambda\end{array}\right|+2(-1)^{n+1}\left|\begin{array}{cccccc}2&0&0&\dots&0&0\\\lambda&2&0&\dots&0&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\dots&\vdots&\vdots\\0&0&0&\dots&2&0\\0&0&0&\dots&\lambda&2\end{array}\right|=\lambda^n+(-1)^{n+1}2^n=0\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\lambda^n=(-1)^n2^n\Leftrightarrow \left{\begin{array}{l}\lambda=\pm2,\ \cyr{ako} \ n=2k\\\lambda=-2,\ \cyr{ako}\ n=2k+1\end{array}\right.. [/tex]
Тук накрая съществено се използва, че [tex]\lambda\in\mathbb{R}[/tex] иначе ще имаме n различни комплексни стойности на параметъра, при които матрицата е особена.

[borisoff]

Мерси