УАСГ 93

[inspiron]

За ъглите [tex]\alpha [/tex],[tex]\beta [/tex] и [tex]\gamma [/tex] на триъгълник е изпълнено равенството:
[tex]2cos\alpha cos\beta +cos\gamma =\frac{1}{2} [/tex]
а) Изразете ъглите [tex]\alpha [/tex] и [tex]\beta [/tex] чрез [tex]\gamma [/tex]
б) Изразете лицето S на триъгълника чрез радиуса R на описаната окръжност и ъгъла [tex]\gamma [/tex]
в) Определете [tex]cos\gamma [/tex] за онази стойност на [tex]\gamma [/tex], при която за фиксирано R лицето S е най-голямо.


За а) получавам
[tex]2cos\alpha cos\beta +cos\gamma =\frac{1}{ 2} [/tex]

[tex]cos(\alpha - \beta )+cos(\alpha + \beta ) + cos\gamma =\frac{1}{ 2} [/tex]

[tex] cos(\alpha + \beta ) = - cos(180^\circ -(\alpha +\beta ))=-cos\gamma [/tex]

[tex]cos(\alpha - \beta )=\frac{1}{ 2} [/tex]



За б)

[tex]a=2Rsin\alpha =2Rsin\frac{(120^\circ - \gamma)}{ 2}[/tex]

[tex]b=2Rsin\beta =2Rsin\frac{(240^\circ + \gamma)}{ 2}[/tex]

[tex]S=\frac{absin\gamma}{ 2} [/tex]

и след известни пресмятания получавам

[tex] S=R^{2 }(\frac{\sqrt{3} }{ 2} -\frac{\sqrt{3} }{ 2}sin^{2 }\gamma +\frac{1}{ 2} sin2\gamma +sin\gamma )[/tex]

При в) очаквах, като получа само синуси в б) и се намеря производната, да останат само косинуси и оттам вече да си намеря и НГС за S, но или някаде съм объркал или не мога да се сетя за някакво продължение

[Реклама]

[Garoll]

И си мислиш, че а) е вярна?

[inspiron]

вече забелязах, че не е

[Garoll]

[tex]cos(\alpha -\beta )+cos(\alpha +\beta )-cos(\alpha +\beta )=\frac{1}{2 }[/tex] --> точно 1 ред

[inspiron]

да, прав си. най-лошото е, че аз бях стигнал дотам, но някак си съм решил, че не съм свършил с задачата и допълнително съм се оплел shame on me.
по-нататък вече всичко си се получава...