Лице на триъгълници

[jack4]

През центъра на тежестта на ∆АВС е прекарана права, която пресича страните ВС и АС съответно в точките М и N. Да се докаже, че
S∆АМN + S∆BMN ≥ [tex]\frac{4}{9 }[/tex] S∆ABC. Кога се достига равенство?

[Реклама]

[inimitably]

Първо трябва да докажеш , че S∆АМN + S∆BMN = S∆CMN , а после лесно се вижда ,че равенство се достига , когато MN//AB.

[Saposto_MM]

Тази задача е 3-ти кръг на олимпиадата по Математика
Първо ще докажем, че [tex]S_{\Delta AMN}+S_{\Delta BMN}=S_{\Delta CMN}[/tex]. Пускаме перпендикуляри от A, B, C и средата Q на AB към MN. Нека те са съответно K, L, P и S. Построяваме и медианата CQ. В трапеца ABLK PQ е средна отсечка и значи [tex]\frac{AK+BL}{2}=QS [/tex], откъдето [tex]S_{\Delta AMN}+S_{\Delta BMN}=2S_{\Delta QMN}[/tex]. Освен това като използваме свойството на медицентъра и подобни триъгълници получаваме [tex]\frac{QS}{CP}=\frac{1}{2}[/tex].Оттук [tex]S_{\Delta CMN}=2S_{\Delta QMN}[/tex], и от по-горе доказаното следва [tex]S_{\Delta AMN}+S_{\Delta BMN}=S_{\Delta CMN}[/tex].
В [tex]\Delta BMC[/tex] [tex]\frac{CB}{CN}=\frac{S_{\Delta BMC}}{S_{\Delta CMN}} [/tex] и в [tex]\Delta AMC[/tex] [tex]\frac{CA}{CM}=\frac{S_{\Delta ANC}}{S_{\Delta CMN}}[/tex], откъдето и от по-горе доказаното [tex]\frac{CB}{CN}+\frac{CA}{CM}=\frac{S_{\Delta ANC}}{S_{\Delta CMN}}+\frac{S_{\Delta BMC}}{S_{\Delta CMN}}=\frac{3S_{\Delta CMN}}{S_{\Delta CMN}}=3[/tex]
Нека [tex]\frac{CB}{CN}=y[/tex] и [tex]\frac{CA}{CM}=x[/tex]. Така получаваме [tex]S_{\Delta ABC}=\frac{xy.CM.CN.sin (\angle ACB)}{2}=S_{\Delta CMN}xy\le S_{\Delta CMN}\frac{(x+y)^{2}}{4}=\frac{9}{4}S_{\Delta CMN}[/tex], откъдето [tex]S_{\Delta ANM}+S_{\Delta BMN}\ge \frac{4}{9}S_{\Delta ABC}[/tex]. Равенство се достига, когато x=y, откъдето като се върнем в полагането [tex]\frac{CB}{CN}=\frac{CA}{CM}[/tex], откъдето по теоремата на Талес MN||AB.

[jack4]

[tex]S_{\Delta ABC}=\frac{xy.CM.CN.sin (\angle ACB)}{2}=S_{\Delta CMN}xy\le S_{\Delta CMN}\frac{(x+y)^{2}}{4}=\frac{9}{4}S_{\Delta CMN}[/tex] това неможах да го схвана как става . Какво става с xy тук -> [tex]S_{\Delta CMN}xy[/tex] и от къде идва [tex]\frac{(x+y)^{2}}{4}[/tex] ами това [tex]S_{\Delta CMN}xy\le S_{\Delta CMN}\frac{(x+y)^{2}}{4}[/tex]

[Saposto_MM]

Понеже [tex]S_{\Delta CMN}=\frac{CM.CN.sin(\angle CAB)}{2}[/tex], то [tex]S_{\Delta ABC}=\frac{AC.BC}{CM.CN}\frac{CM.CN.sin(\angle CAB)}{2}=xy\frac{CM.CN.sin(\angle CAB)}{2}=xyS_{\Delta CMN}[/tex]. Понеже [tex](x-y)^{2}\ge 0[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]x^{2}+y^{2}\ge 2xy[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex](x+y)^{2}\ge 4xy[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{(x+y)^{2}}{4}\ge xy [/tex]. Оттук [tex]xyS_{\Delta CMN}\le \frac{(x+y)^{2}}{4}S_{\Delta CMN}[/tex].

[jack4]

мерси много