3-ти кръг, 1986 година

[blqaa]

Намерете всички естествени числа n, за които [tex]3^{n}+88[/tex] е точен квадрат.

[Реклама]

[Baronov]

По модул 4 се вижда, че n е четно и задачата се свежда до проверка на няколко случая.

[blqaa]

Дай шанс и на другите

[Пафнутий]

По модул 4 имаме [tex]n[/tex] е четно.Гледайки последната цифра на [tex]3^n\Rightarrow n=4k[/tex]. Тогава за [tex]k\ge 2[/tex] имаме [tex](3^{2k})^2<3^{n}+88<(3^{2k}+1)^2[/tex] . Остава само [tex]k=1[/tex], но тогава имаме [tex]3^4+88=169=13^2[/tex], откъдето единствено решение е [tex]n=4[/tex].

[blqaa]

А за кои n е точен куб?
П.С. По идея на ММ

[Пафнутий]

Имаме [tex]3^n+88=t^3[/tex].Ползвайки [tex]t^3\equiv \pm 1(mod 7)\Rightarrow 3^n+88\equiv \pm1(mod 7)\Rightarrow n=2k,(k,3)=1,k\in \mathbb{Z}[/tex].Използвайки малката теорема на Ферма- [tex]t^3\equiv t(mod 3)[/tex] и понеже [tex]3^n+88\equiv 1(mod3)\Rightarrow t\equiv 1(mod 3)[/tex]. Понеже, че [tex]n=2k[/tex], то [tex]3^n+88\equiv 7\equiv t^3(mod 9)[/tex]. Обаче [tex]t\equiv 1,4,7(mod 9)\Rightarrow t^3\equiv 1(mod 9)[/tex], но [tex]1\ne7[/tex] , откъдето [tex]3^n+88=t^3[/tex] няма решение в цели числа.

[Baronov]

А за кои n [tex]3^{n} + 88[/tex] е точна 4-та степен?

[Пафнутий]

[Baronov]

ти как мислиш?

[Sir_Boss]

3ⁿ+88=a⁴ => 3ⁿ+88=(a²)² Вече знаем че единствения точен квадрат на който е равен 3ⁿ+88 е 169 при n=2. След елементарна проверка се вижда че ако 3ⁿ+88=a⁴ то n \in празното множество

[Sir_Boss]

Имам грешка в предното мнение. n трябва да е 4 а не 2.