уравнение

[ганка симеонова]

[tex]\sqrt{cos2x+sin3x}=\sqrt{2}cosx [/tex]

[Реклама]

[NoThanks]

След прилагане на формулата [tex]sin3x=-4sin^3x + 3sinx[/tex] и полагане: [tex]t=sinx \in [-1;1][/tex] и ф-лата [tex]cos2x=1-2sin^2x[/tex] получаваме:
[tex]\sqrt{1-2t^2-4t^3+3t} = \sqrt{2}cosx[/tex] Сега дигаме на квадрат и:
[tex]1-2t^2-4t^3+3t = 2(1-t^2) = 2-2t^2[/tex]
=> [tex]4t^3-3t+1=0[/tex] единият корен е -1, а другият е 2кратен и е 1/2
=> [tex]sinx=-1 <=> x= \frac{3\pi}{2} + 2k\pi \; sinx=1/2 <=> x=\frac{\pi}{6}+2k\pi \; x=\frac{5\pi}{6} +2k\pi[/tex] 2 от корените обаче не са в ДС => само [tex]x=\frac{\pi}{6} +2k\pi[/tex]

[Spider Iovkov]

[tex]\sqrt{\cos2x+\sin3x}=\sqrt{2}cosx, \\ DM_{x}: cosx\ge 0[/tex]
В такъв случай повдигаме на втора степен и получаваме
[tex]cos2x+\sin3x=2cos^2x \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow cos2x+3sinx-4sin^3x=2cos^2x \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow cos^2x-sin^2x+3sinx-4sin^3x=2cos^2x \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow 1-sin^2x-sin^2x+3sinx-4sin^3x=2(1-sin^2x) \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow 1-\cancel {2sin^2x}+3sinx-4sin^3x=2-\cancel {2sin^2x } \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow 4sin^3x-3sinx+1=0; sinx=t \Rightarrow \\ \Rightarrow 4t^3-3t+1=0 \Leftrightarrow (t+1)(2t-1)^2=0 \Leftrightarrow t_{1}=-1, t_{2}=\frac{1}{2} \Rightarrow x_{1}=\frac{3\pi}{2}+2k\pi, x_{2}=-\frac{\pi}{2}+2k\pi, x_{3}=\frac{\pi}{6}+2k\pi, x_{4}=\frac{5\pi}{6}+2k\pi[/tex]

[ганка симеонова]

И двамата имате грешка.

[ганка симеонова]

Хха, докато напиша и Марто промени мнението си. Сега вече е добре.

[mkmarinov]

[tex]\sqrt{cos2x+sin3x} = \sqrt{2}cosx [/tex]
При cosx>=0.
Повдигаме на квадрат и получаваме
[tex]cos2x+sin3x=2cos^2x[/tex]
Използваме, че [tex]2cos^2x = cos2x+1[/tex] и получаваме
[tex]sin3x=1[/tex]
[tex]x = \frac{\pi}{6}+\frac{2}{3}k\pi \cup x=\frac{5\pi}{6}+\frac{2}{3}k\pi[/tex]
Сравняваме с ДМ и условието за cosx и отговор остава само
[tex]x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi [/tex]