Обем на многостен

[Нелката]

Здравейте, имам задача за утре, а нещо не мога да я реша. Ако някой може да ми помогне, ще му бъда благодарна Условието е следното: През върха на правилна триъгълна пирамида и през средите на два основни ръба е
построено сечение, което образува с основата ъгъл a . Ако основният ръб на
пирамидата е a , то лицето на сечението и обемът на пирамидата са.....
Отговор:a на квадрат по корен 3 цялото върху 48 косинъс алфа
и а на 3-та по тангент алфа цялото върху 48

[Реклама]

[Spider Iovkov]

Нека означенията са както на картинката. Тогава [tex]AK=BK=CT=BT=\frac{a}{2}[/tex] и [tex]\angle OFQ=\alpha[/tex]. Лесно се сещаме, че [tex]KT||AC[/tex] и е средна отсечка в [tex]\triangle ABC[/tex], откъдето [tex]KT=\frac{AC}{2} \Leftrightarrow KT=\frac{a\sqrt{2}}{2} \, (*)[/tex]. Знаем също така, че [tex]\triangle ABC \sim \triangle KBT[/tex]. Коефициентът на подобие е [tex]k=2[/tex]. Тогава [tex]BO=2BF[/tex] – или [tex]BF=OF=\frac{a\sqrt{2}}{4}[/tex]. Сега от правоъгълния [tex]\triangle OFQ \Rightarrow cos\alpha=\frac{OF}{QF} \Leftrightarrow QF=\frac{a\sqrt{2}}{4 cos\alpha} \, (**)[/tex].
От [tex](*)[/tex] и [tex](**)[/tex] намираме лицето на сечението – [tex]S_{\triangle KTQ}=\frac{KT.QF}{2} \Leftrightarrow S_{\triangle KTQ}=\frac{a^2}{8 cos\alpha}[/tex].
Пак от правоъгълния [tex]\triangle OFQ[/tex] намираме [tex]\tan\alpha=\frac{OQ}{OF} \Leftrightarrow OQ=OF \tan\alpha \Leftrightarrow OQ=\frac{a\sqrt{2}}{4} \tan\alpha \, (1)[/tex]. Ясно е, че [tex]S_{ABCD}=a^2 \, (2)[/tex].
От [tex](1)[/tex] и [tex](2) \Rightarrow V_{ABCDQ}=\frac{1}{3}Bh \Leftrightarrow V_{ABCDQ}=\frac{a^3\sqrt{2} \tan\alpha}{12}[/tex].