Да се докаже точен куб

[Titu_Andrescu]

Нека [tex]a,b[/tex] са различни естествени числа, за които е изпълнено уравнението [tex](a-b)^4=a^3-b^3[/tex]. Да се докаже, че [tex]9a-1[/tex] e куб на цяло число.

(Д. Джукич, Русия)

Например [tex]a=57, b=38[/tex] e решение.

[Реклама]

[Мирослав Стоенчев]

Д-во:При [tex]a\ne b[/tex] уравнението е еквивалентно на [tex](a-b)^{3}=(a-b)^{2}+3ab,[/tex] т.е. [tex](a-b)^{2}[(a-b)-1]=3ab.[/tex]
Нека [tex]gcd(a,b)=d, [/tex] [tex]a=da_{1}, [/tex] [tex]b=db_{1},[/tex] [tex]gcd(a_{1},[/tex] [tex]b_{1})=1.[/tex]

Тогава уравнението добива вида: [tex]1)[/tex] [tex](a_{1}-b_{1})^{2}[d(a_{1}-b_{1})-1]=3a_{1}b_{1}[/tex]

Понеже [tex]gcd(a_{1},b_{1})=1,[/tex] то [tex]gcd((a_{1}-b_{1})^{2},a_{1}b_{1})=1.[/tex] Ако допуснем, че [tex]3[/tex] дели [tex](a_{1}-b_{1})^{2},[/tex] то от уравнението [tex]1)[/tex] получаваме,че трябва [tex]3[/tex] да дели [tex]a_{1}b_{1},[/tex] т.е.
[tex]3|a_{1}[/tex] или [tex]3|b_{1},[/tex] и понеже [tex]3[/tex] дели [tex](a_{1}-b_{1})^{2},[/tex] то [tex]3|a_{1}[/tex] и [tex]3|b_{1},[/tex] oт където получаваме противоречие с [tex]gcd(a_{1},[/tex] [tex]b_{1})=1.[/tex]

Така доказахме, че [tex]gcd((a_{1}-b_{1})^{2},3a_{1}b_{1})=1,[/tex] следователно
[tex]a_{1}-b_{1}=1 ->b_{1}=a_{1}-1.[/tex] Заместваме в уравнението [tex]1)[/tex] и получаваме,че [tex]d=3(a_{1})^{2}-3a_{1}+1 -> a=d.a_{1}=3(a_{1})^{3}-3(a_{1})^{2}+a_{1}.[/tex] Значи [tex]9a-1=27(a_{1})^{3}-27(a_{1})^{2}+9a_{1}-1=(3a_{1}-1)^{3},[/tex] с което твърдението е доказано.