Регистрирайте се
Предишната тема :: Следващата тема |
Автор |
Съобщение |
Titu_Andrescu Напреднал
Регистриран на: 28 Oct 2006 Мнения: 370
гласове: 29
|
Пуснато на: Sat Jan 20, 2007 4:38 pm Заглавие: Да се докаже точен куб |
|
|
Нека [tex]a,b[/tex] са различни естествени числа, за които е изпълнено уравнението [tex](a-b)^4=a^3-b^3[/tex]. Да се докаже, че [tex]9a-1[/tex] e куб на цяло число.
(Д. Джукич, Русия)
Например [tex]a=57, b=38[/tex] e решение. |
|
Върнете се в началото |
|
|
Реклама
|
Пуснато на: Заглавие: Реклама |
|
|
|
|
Върнете се в началото |
|
|
Мирослав Стоенчев Напреднал
Регистриран на: 21 Aug 2007 Мнения: 279
гласове: 45
|
Пуснато на: Mon Dec 03, 2007 7:41 pm Заглавие: |
|
|
Д-во:При [tex]a\ne b[/tex] уравнението е еквивалентно на [tex](a-b)^{3}=(a-b)^{2}+3ab,[/tex] т.е. [tex](a-b)^{2}[(a-b)-1]=3ab.[/tex]
Нека [tex]gcd(a,b)=d, [/tex] [tex]a=da_{1}, [/tex] [tex]b=db_{1},[/tex] [tex]gcd(a_{1},[/tex] [tex]b_{1})=1.[/tex]
Тогава уравнението добива вида: [tex]1)[/tex] [tex](a_{1}-b_{1})^{2}[d(a_{1}-b_{1})-1]=3a_{1}b_{1}[/tex]
Понеже [tex]gcd(a_{1},b_{1})=1,[/tex] то [tex]gcd((a_{1}-b_{1})^{2},a_{1}b_{1})=1.[/tex] Ако допуснем, че [tex]3[/tex] дели [tex](a_{1}-b_{1})^{2},[/tex] то от уравнението [tex]1)[/tex] получаваме,че трябва [tex]3[/tex] да дели [tex]a_{1}b_{1},[/tex] т.е.
[tex]3|a_{1}[/tex] или [tex]3|b_{1},[/tex] и понеже [tex]3[/tex] дели [tex](a_{1}-b_{1})^{2},[/tex] то [tex]3|a_{1}[/tex] и [tex]3|b_{1},[/tex] oт където получаваме противоречие с [tex]gcd(a_{1},[/tex] [tex]b_{1})=1.[/tex]
Така доказахме, че [tex]gcd((a_{1}-b_{1})^{2},3a_{1}b_{1})=1,[/tex] следователно
[tex]a_{1}-b_{1}=1 ->b_{1}=a_{1}-1.[/tex] Заместваме в уравнението [tex]1)[/tex] и получаваме,че [tex]d=3(a_{1})^{2}-3a_{1}+1 -> a=d.a_{1}=3(a_{1})^{3}-3(a_{1})^{2}+a_{1}.[/tex] Значи [tex]9a-1=27(a_{1})^{3}-27(a_{1})^{2}+9a_{1}-1=(3a_{1}-1)^{3},[/tex] с което твърдението е доказано. |
|
Върнете се в началото |
|
|
|
|
Не Можете да пускате нови теми Не Можете да отговаряте на темите Не Можете да променяте съобщенията си Не Можете да изтривате съобщенията си Не Можете да гласувате в анкети Може да прикачвате файлове Може да сваляте файлове от този форум
|
|