Тема изпит

[bobatumba]

Темата

[Реклама]

[nikko1]

3 зад.
Тъй като [tex]\varphi,\ \psi[/tex] са хомоморфизми, то при фиксиран краен базис (такъв съществува, т.к. V е крайномерно) те имат матрици. Нека да означим тези матрици съответно с A и B. Композицията им [tex]\varphi\psi[/tex] ще има марица AB.
Тогава [tex]r(\varphi)=r(A),\ r(\psi)=r(B),\ r(\varphi\psi)=r(AB).[/tex]
Имаме [tex]r(\varphi\phi)=r(AB)\leq \min(r(A),\ r(B))=\min(r(\varphi),\ r(\psi))[/tex]
Следователно [tex]r(\varphi\phi)\leq r(\varphi)[/tex] и
[tex]r(\varphi\phi)\leq r(\psi).[/tex]
б) Хомоморфизма [tex]\varphi+\psi[/tex] е изпълнено, че в същият базис има матрица [tex]A+B[/tex].
Тогава [tex]r(\varphi+\psi)=r(A+B)\leq r(A)+r(B)=\r(\varphi)+r(\psi)[/tex]