Ъгли

[ганка симеонова]

Даден е неравнобедрен правоъгълен триъгълник АВС с прав ъгъл при върха С. Точките О и J са съответно центровете на вписаната окръжност и на външновписаната окръжност, която се допира до хипотенузата, а Р и Q са допирните точки на тези окръжности с хипотенузата.Намерете ъглите на триъгълника АВС, ако
[tex]S_{ABC}: S_{OQJP}=\sqrt{3} :2 [/tex]

[Реклама]

[NoThanks]

Имаме стандартните означения за триъгълника. Tогава
[tex]AP=p-a[/tex] - допирателна отсечка, но AQ - допирателна отсечка за външната окръжност и тогава ползваме, че [tex]AQ=p-b[/tex]. Тогава
[tex]PQ=p-b-p+a = a-b (1)[/tex] Но [tex]BP=p-b => BQ=p-b-a+b = p-a =AP[/tex]
Разглеждаме триъгълниците PKO и JKQ. Те са подобни, защото имат по прав ъгъл и връхни ъгли и тогава:
[tex]\frac{r}{r_{c}} = \frac{PK}{KQ}[/tex]. Нека PK = x. Тогава [tex]KQ=a-b-x[/tex] и от Тh за ъглопол. имаме: [tex]\frac{p-a+x}{p-a+a-b-x} = \frac{p-a+x}{p-b-x}=\frac{b}{a}[/tex] Откъдето [tex]x=\frac{(a-b)(a+b-p)}{(a+b)} (2)[/tex]. Тогава:[tex]KQ=\frac{p(a-b)}{(a+b)}[/tex] => [tex]\frac{r}{r_{c}} = \frac{a+b-p}{p} => r_{c}=\frac{pr}{a+b-p}[/tex]
[tex]S_{ABC}=pr \; S_{OPJQ}=S_{PJQ}+S_{POQ} = \frac{r(a-b)}{2} + \frac{r_{c}(a-b)}{2} = \frac{r(a^2-b^2)}{2(a+b-p)}[/tex] (това като заместим с полученото за r(c))
[tex]\frac{S_{ABC}}{S_{OPQJ}} = \frac{\sqrt{3}}{2} => 4p^2-4p\sqrt{a^2+b^2}-\sqrt{3}(a^2-b^2)=0[/tex]
[tex]p_{1,2}=\frac{2\sqrt{a^2+b^2}\pm 2\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{1+\sqrt{3}}}{4}[/tex] Това с минуса отпада и остава само:
[tex]2p = P = \sqrt{a^2+b^2}(1+\sqrt{1+\sqrt{3}})[/tex] Повдигаме на квадрат и получаваме:
[tex]P^2 = (a^2+b^2)(1+\sqrt{1+\sqrt{3}})^2 = c^2(1+\sqrt{1+\sqrt{3}})^2 =>P=c(1+\sqrt{1+\sqrt{3}})=a+b+c =>a+b=c(\sqrt{1+\sqrt{3}}) => a^2+2ab+b^2=c^2+c^2\sqrt{3} => 2ab=c^2\sqrt{3}[/tex] Но [tex]S_{ABC}=\frac{ab}{2} => 4S=c^2\sqrt{3} => S=\frac{c^2\sqrt{3}}{4}=\frac{acsin\alpha}{2} => sin\alpha = \frac{c\sqrt{3}}{2a}[/tex] НО [tex]sin\alpha = \frac{a}{c}=\frac{c\sqrt{3}}{2a} => a=c\frac{\sqrt{\sqrt{3}}}{\sqrt{2}} <=>sin\alpha = \sqrt{\frac{\sqrt{3}}{2}}[/tex] Допускам обаче че някъде съм изпуснал да съкратя някое c затова получавам този допълнителен корен, ъглите би трябвало да са 30;60;90. Сега пак ще погледна(макар че вече 2-3 пъти го получавам този отг.)

[ганка симеонова]

Някъде си оплескал очевидно. Да, ъглите са толкова.

[Spider Iovkov]

[tex]\triangle ABC[/tex], в който [tex]\angle ACB=90^\circ, BC=a, AC=b[/tex]. Точката [tex]O[/tex] е център на вписаната окръжност, а точка [tex]J[/tex] – на външновписаната, която се допира до [tex]AB[/tex]. Вписаната окръжност се допира до [tex]AB[/tex] в [tex]P[/tex], а външновписаната – в [tex]Q[/tex]. Да означим условно допирните точки на вписаната окръжност с катетите [tex]AC[/tex] и [tex]BC[/tex] съответно с [tex]K[/tex] и [tex]T[/tex]. Очевидно имаме [tex]AP=AK=p-a, BP=BT=p-b, CK=CT=p-c[/tex] (равни допирателни). Да означим също така [tex]OP=r[/tex] и [tex]\angle POQ=\varphi[/tex]. От [tex]\triangle POQ[/tex] определяме [tex]\tan\varphi=\frac{PQ}{OP} \Leftrightarrow PQ=OP\tan\varphi \Leftrightarrow PQ=r\tan\varphi[/tex]. Ясно е, че [tex]PQ+QB=PB \Leftrightarrow r\tan\varphi+QB=p-b \Leftrightarrow QB=p-b-r\tan\varphi[/tex].
Сега да фиксираме точката [tex]M[/tex], в която външновписаната окръжност се допира до продължението на [tex]AC[/tex], и точката [tex]N[/tex], в която външновписаната окръжност се допира до продължението на катета [tex]BC[/tex]. Очевидно е, че [tex]JM\bot CM, JN\bot CN[/tex]. От тези допирни точки получаваме следното:
[tex]AM=AQ=p-a+r\tan\varphi, BN=BQ=p-b-r\tan\varphi[/tex] (равни допирателни към външновписаната окръжност). [tex]\angle MCN=\angle JMC=\angle JNC=90^\circ \Rightarrow \angle MJN=90^\circ \Rightarrow MCNJ[/tex] е квадрат [tex]\Rightarrow CM=CN \Leftrightarrow \cancel {p-c}+\cancel p-a+\cancel p-a+r\tan\varphi=\cancel {p-c}+\cancel p-b+\cancel p-b-r\tan\varphi \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow r\tan\varphi-2a=-2b-r\tan\varphi \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \cancel 2r\tan\varphi=\cancel 2(a-b) \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow r\tan\varphi=a-b[/tex].
Тъй като [tex]JQ||OP[/tex], то четириъгълникът [tex]OQJP[/tex] е трапец и [tex]S=\frac{OP+JQ}{2}.PQ[/tex]. Но [tex]QJ=JM=CM=p-a+r\tan\varphi+p-a+p-c[/tex]. Тогава [tex]QJ=3p-(a+b+c)=\frac{3(a+b+c)}{2}-\frac{2(a+b+c)}{2}=\frac{a+b+c}{2}=p[/tex]. В такъв случай ще получим
[tex]S_{OQJP}=\frac{r+p}{2}.(a-b) \Leftrightarrow S_{OPJQ}=\frac{a+b-c+a+b+c}{4}(a-b) \Leftrightarrow S_{OPJQ}=\frac{(a+b)(a-b)}{2}[/tex]. Отчитайки, че [tex]S_{\triangle ABC}=\frac{ab}{2}[/tex], и замествайки в даденото в условието отношение, достигаме до
[tex]\frac{2ab}{(a+b)(a-b)}=\sqrt{3} |^2 \Rightarrow \frac{4a^2b^2}{(a^2-b^2)^2}=3[/tex].
Сега въвеждаме [tex]a^2=t, b^2=v[/tex] и определяме
[tex]\frac{4tv}{(t-v)^2}=3 \Leftrightarrow 3t^2-10tv+3v^2=0[/tex]. Решаваме това уравнение относно [tex]t[/tex] и имаме [tex]t=3v, t=\frac{1}{3}v[/tex]. Оттук [tex]\Rightarrow a=\sqrt{t}=\sqrt{3v}=\sqrt{3b^2}=b\sqrt{3}[/tex]. От [tex]\triangle ABC[/tex] с катети [tex]BC=b\sqrt{3}[/tex] и [tex]AC=b \Rightarrow \tan\alpha=\frac{BC}{AC} \Leftrightarrow \tan\alpha=\frac{b\sqrt{3}}{b} \Leftrightarrow \tan\alpha=\sqrt{3} \Leftrightarrow \alpha=60^\circ \Rightarrow \beta=30^\circ[/tex].

[ганка симеонова]

Пуснах я, защото си подготвях часа по СИП
Аз бих подходила така: Ако [tex]\angle A=\alpha [/tex] , лесно се доказва, че [tex]S_{AJOQ}=\frac{c^2}{ 2}/cos2\alpha/ =>\frac{ab}{ c^2/cos2\alpha /} =\frac{\sqrt{3} }{ 2}[/tex]
Тогава, повдигайки на квадрат и разделяйки на [tex]sin^2\alpha [/tex], получаваме [tex]\sqrt{3} cotg^2\alpha -2cotg\alpha -\sqrt{3} =0 [/tex]...
EDIT: Ще напиша нещо и не ме интересува, кой какво ще каже..
Емо, ти имаш таланта да обясняваш, не всеки го може. Обичаш математиката, има все още много да учиш и да я опитомяваш, но всички ние я опитомяваме... Мисля си, че би станал страхотен учител...И не само, заради това.. Ти си много деликатен човек и обичаш хората, а това е много важно..

[inimitably]

Ето и още едно решение
[tex]S_{OQJP}/S_{abc}=[(a-b).(r_{c}+r)]/p.r[/tex]
Лесно се доказва ,че [tex]r_{c}=p[/tex] и [tex]r=p-c[/tex]
=>[tex]S_{OQJP}/Sabc=[(a-b).(2p-c)]/p.r=2:\sqrt{3}[/tex]
=>[tex]S_{OQJP}/Sabc=[(a-b).(a+b)]/p.r=2:\sqrt{3}[/tex] , но [tex]p.r=ab/2[/tex]
=>[tex]\sqrt{3} (a^2-b^2)=a.b[/tex]
И от тук вече е ясно