Да се реши уравнението (от Испания)

[Titu_Andrescu]

Да се реши уравнението в реални числа x,y:

Средно хармоничното на x,y + Средно квадратичното на x,y = Средно геометричното на x,y + Средно аритметичното на x,y.

Нагледно: 2xy/(x+y)+√((x²+y²)/2)=√(xy)+(x+y)/2.

Автор на задачата е испанския математик Juan-Bosco Romero Marquez, Universidad de Valladolid, Valladolid, Spain. Задачата е публикувана във стар брой на списание CRUX, решението е доста оригинално и е достъпно и за осмокласник (поне това, което е дал автора).

[Реклама]

[Мирослав Стоенчев]

Р-е: Имаме [tex]\sqrt{\frac{x^{2}+y^{2}}{2}}-\sqrt{xy}=\frac{(x-y)^{2}}{2(x+y)}[/tex]
т.е. [tex]\frac{(x-y)^{2}}{2}=\frac{(x-y)^{2}}{2}\frac{\sqrt{\frac{x^{2}+y^{2}}{2}}+\sqrt{xy}}{x+y},[/tex]

[tex]\frac{(x-y)^{2}}{2(x+y)}\frac{\sqrt{\frac{x^{2}+y^{2}}{2}}+\sqrt{xy}-(x+y)}{x+y}=0.[/tex]

Така получаваме, че решения са [tex]x=y\in R, x,y\ne 0,[/tex] Остава да разгледаме случая [tex]\sqrt{\frac{x^{2}+y^{2}}{2}}+\sqrt{xy}-(x+y)=0,[/tex] при предположенията

[tex]x,y>0.[/tex] Получаваме [tex]\sqrt{\frac{x^{2}+y^{2}}{2}}+\sqrt{xy}=x+y,[/tex] повдигаме в квадрат двете страни и намираме [tex]2\sqrt{\frac{xy(x^{2}+y^{2})}{2}}=\frac{(x^{2}+y^{2})}{2}+xy,[/tex] последното е възможно само при [tex]\frac{(x^{2}+y^{2})}{2}=xy -> x=y>0.[/tex]
Окончателно: [tex]x=y\in R, x,y\ne 0.[/tex]