две примерчета

[iavkkata]

Имам затруднения със следните примерчета:

lg(3^x + x - 17) = xlg(30-x);

x^1/2log₅x-1=5

мерси много предварително!

[Реклама]

[martosss]

[iavkkata]

[tex] \sqrt{x}^{log_{5}(x-1)}=5 [/tex]

[martosss]

Съжалявам, но и на двете примерчета стигам до задънена улица

[iavkkata]

Аз на първото стигам до грешен отговор, а на второто не мога дори да стигна до някякво решение... мерси все пак

[martosss]

Ми аз като гледам на първата задача няма решение Поне така показва една програма за чертане на графики на функции... на втората още не съм чертал, ама какво ли ще излезе и аз не знам

[iavkkata]

Хм на втората трябва да са [tex] \frac{1}{25} [/tex] и 25.

[martosss]

ми аз като гледам тези числа не са отговори... не знам защо така реши, ама при директно заместване [tex]{\frac{1}{25}[/tex] дори дава отрицателна стойност в логаритъма, а при х=25 се получава 24=5, което май не е вярно

[iavkkata]

Знам, в сборника пише така :d

[martosss]

ем значи е сгрешена задачата... или отговорът

[Is it black or white?]

[Spider Iovkov]

Ето решението на втория пример. Корените не съвпадат с дадените отговори.
[tex]\sqrt{x}^{log_{5}(x-1)}=5 \Rightarrow DM_{x}: x\in (1;+\infty)[/tex]
Сега малко преобразуваме:
[tex]\sqrt{x}^{log_{5}(x-1)}=5|log_{x} \Rightarrow \\ \Rightarrow log_{x}x^{\frac{1}{2}log_{5}(x-1)}=log_{x}5 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \frac{1}{2}log_{5}(x-1)=log_{x}5 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow log_{5}(x-1)^{\frac{1}{2}}=\frac{log_{5}5}{log_{5}x} \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow log_{5}(x-1)^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{log_{5}x} \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \frac{1}{2}log_{5}(x-1)log_{5}x=1 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow log_{5}(x-1)log_{5}x=2[/tex].
Сега полагаме [tex]log_{5}(x-1)=u \Leftrightarrow x-1=5^u \Leftrightarrow x=5^u+1; log_{5}x=v \Leftrightarrow x=5^v[/tex]. Тогава решаваме системата
[tex]\begin{array}{||}5^u+1=5^v\\uv=2\end{array}[/tex]. От второто изразяваме примерно [tex]u[/tex] и получаваме [tex]u=\frac{2}{v} \Rightarrow 5^{\frac{2}{v}}+1=5^v \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow (5^{\frac{1}{v}})^2+1=5^v \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow (5^{v^{-1}})^2+1=5^v \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow (5^v)^{-2}+1=5^v[/tex].
Въвеждаме [tex]5^v=t[/tex] и достигаме до [tex]t^{-2}+1=t \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \frac{1}{t^2}+1=t \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow t^3-t^2-1=0[/tex].
Сега ще обясним как се намират решенията на кубично уравнение от вида [tex]x^3+ax^2+bx+c=0[/tex]. Извършваме следните полагания:
[tex]Q=\frac{3b-a^2}{9},\\R=\frac{9ab-27c-2a^3}{54},\\S=\sqrt[3]{R+\sqrt{Q^3+R^2}}\\T=\sqrt[3]{R-\sqrt{Q^3+R^2}}[/tex].
Тогава всичките решения на даденото уравнение се дават с изразите:
[tex]x_{1}=S+T-\frac{a}{3},\\x_{2}=-\frac{1}{2}(S+T)-\frac{a}{3}+\frac{1}{2}i\sqrt{3}(S-T),\\x_{3}=-\frac{1}{2}(S+T)-\frac{a}{3}-\frac{1}{2}i\sqrt{3}(S-T)[/tex].

[ганка симеонова]