Регистрирайте сеРегистрирайте се

Минимален периметър


 
   Форум за математика Форуми -> Математика за 11-12 клас, Кандидат-студенти
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
ганка симеонова
SUPER VIP


Регистриран на: 10 Jan 2008
Мнения: 5985
Местожителство: софия
Репутация: 618.5Репутация: 618.5Репутация: 618.5
гласове: 298

МнениеПуснато на: Fri Feb 06, 2009 6:55 pm    Заглавие: Минимален периметър

Да се докаже, че от всички триъгълници с дадено лице S равностранният триъгълник има най- малък периметър.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
Baronov
Напреднал


Регистриран на: 05 Jun 2008
Мнения: 316

Репутация: 55.4
гласове: 39

МнениеПуснато на: Fri Feb 06, 2009 7:12 pm    Заглавие:

Класическа изопериметрична задача. Интересно е да се даде решение без теоремата на Вайерщрас и без много сметки.
Иначе с теоремата на Вайерщрас ни трябва само, за да докажем, че съществува триъгълник с минимален периметър. Като имаме това, фиксираме едната страна. Тогава третия връх лежи на фиксирана успоредна права. Сега от принципа на допирането и фокалното свойство на елипсата или направо от задачата на Херон следва, че другите 2 страни трябва да са равни. От тук (и от Вайерщрас ) следва, че равностранния триъгълник е с минимален периметър.

За 8-класниците, задачата на Херон е следната задача:
Имаме точки А и В и права р. Търсим точка Х върху р така, че АХ + ХВ да е минимално. Доказва се, че като вземем А' - симетричната на А относно р и С - пресечната точка на р и ВА', тогава АС + СВ е търсения минимум.

Всъщност като се замисля има и елементарно решение без Вайерщрас и без сметки.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
NoThanks
Гост






МнениеПуснато на: Fri Feb 06, 2009 7:37 pm    Заглавие:

Може би нещо такова Arrow Фиксираме една от страните и височината h, така че S=фиксираната страна*h/2 . Сега си правим права, успоредна на AB и на разстояние h от нея. Множеството от 3ъгълници с лице S са тези образувани от A,B и точка в/у успоредната права. Да допуснем, че измежду тези триъгълници има някой с периметър по-малък от този на равностранния(и нека страните на р-странния са a,b,c , на новия a1,b1 и нека CC1=x). Тогава от неравенство на 3ъгълника в ACC1 имаме:
[tex]b+x>b_{1}[/tex]
От неравенство на 3ъгълника в BCC1:
[tex]a_{1}+x>a[/tex]
Вадим почленно:
[tex]a_{1}-b>a-b_{1} <=> a_{1}+b_{1}>a+b[/tex] и тъй като 3тата ни страна е фиксирана, то излиза че допускането е грешно.



asdasd.png
 Description:
 Големина на файла:  15.13 KB
 Видяна:  2697 пъти(s)

asdasd.png


Върнете се в началото
Baronov
Напреднал


Регистриран на: 05 Jun 2008
Мнения: 316

Репутация: 55.4
гласове: 39

МнениеПуснато на: Fri Feb 06, 2009 7:54 pm    Заглавие:

Яко. Жалко, че нямам една от онези бланки, които са изпращали на "математиците", доказващи теоремата на Ферма. Може би нещо подобно:
Здравейте г-н NoThanks,
Благодаря ви за интереса по поставения проблем. За съжаление доказателството ви не е математически издържано. Първата ви грешка е на ред....
И т.н.

Първо НЕ МОЖЕШ ДА ВАДИШ ЕДНОПОСОЧНИ НЕРАВЕНСТВА. Можеш да ги събираш.
Второ и още по фрапиращо ти си доказал, че като вземем 2 триъгълника АВС и АВС1, то периметъра на първия е строго по-малък от периметъра на втория. Как ти звучи това? Ами какво щеше да стане, ако ги беше избрал наобратно.
Да не говорим, че при фиксираните ти страна и височина, може (даже е и много вероятно) да няма равностранен триъгълник с такава страна и височина.
С една дума, ако не се занимаваш с математика, препоръчвам ти кариера като асистент във фми. Ще се впишеш идеално. Ако искаш да ти кажа и катедрата пиши Л.С.

П.С. Всичко това е на майтап. Целта ми не е да обидя нито теб, нито друг член на форума. Ще дам даже и един сериозен съвет на бъдещите асистенти във фми. Когато доказваш неравенства и знаеш кога е равенството гледай всички неравенства, които използваш да достигат равенството си когато и главното неравенство се превръща в равенство. Иначе няма как да е вярно. Нали? Т.е. твойта идея да използваш неравенство на триъгълника предполага да имаш равенство за произволно избрана дължина на едната страна. А ти нямаш.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
ганка симеонова
SUPER VIP


Регистриран на: 10 Jan 2008
Мнения: 5985
Местожителство: софия
Репутация: 618.5Репутация: 618.5Репутация: 618.5
гласове: 298

МнениеПуснато на: Fri Feb 06, 2009 9:03 pm    Заглавие:

Чакам решение от Nothanks Very Happy
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
r2d2
VIP


Регистриран на: 28 Feb 2007
Мнения: 1936
Местожителство: in the galaxy (Far Far Away)
Репутация: 311.2Репутация: 311.2
гласове: 179

МнениеПуснато на: Sat Feb 07, 2009 3:53 pm    Заглавие:

Baronov написа:

Всъщност като се замисля има и елементарно решение без Вайерщрас и без сметки.


Звучи, особено след цялото писание като проникновение, да не би да е някое известно неравенство! (нерде Вайерщрас, нерде Коши, нерде Баронов ) Mr. Green
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Is it black or white?
Напреднал


Регистриран на: 03 Jan 2009
Мнения: 393
Местожителство: Силистра ПМГ
Репутация: 38.2Репутация: 38.2Репутация: 38.2Репутация: 38.2
гласове: 32

МнениеПуснато на: Sat Feb 07, 2009 4:14 pm    Заглавие: Re: Минимален периметър

ганка симеонова написа:
Да се докаже, че от всички триъгълници с дадено лице S равностранният триъгълник има най- малък периметър.

В такъв вид задачи винаги си означаваме едната страна с неизвестно (да речем х) и всички елементи, които са ни нужни ги изразяваме чрез х, изразяваме перимеръра с х и S, правим първа прозиводна на периметъра и намираме минималната стойност, така намираме х и доказваме задачата
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
r2d2
VIP


Регистриран на: 28 Feb 2007
Мнения: 1936
Местожителство: in the galaxy (Far Far Away)
Репутация: 311.2Репутация: 311.2
гласове: 179

МнениеПуснато на: Sat Feb 07, 2009 4:21 pm    Заглавие: Re: Минимален периметър

Archer написа:

В такъв вид задачи винаги си означаваме едната страна с неизвестно (да речем х) и всички елементи, които са ни нужни ги изразяваме чрез х, изразяваме перимеръра с х и S, правим първа прозиводна на периметъра и намираме минималната стойност, така намираме х и доказваме задачата


Надваm се всико е ясно, вдяна ли бе Ганке! Става или чрез Вайерщрас или чрез х, OMG.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Baronov
Напреднал


Регистриран на: 05 Jun 2008
Мнения: 316

Репутация: 55.4
гласове: 39

МнениеПуснато на: Sat Feb 07, 2009 5:05 pm    Заглавие: Re: Минимален периметър

Archer написа:
ганка симеонова написа:
Да се докаже, че от всички триъгълници с дадено лице S равностранният триъгълник има най- малък периметър.

В такъв вид задачи винаги си означаваме едната страна с неизвестно (да речем х) и всички елементи, които са ни нужни ги изразяваме чрез х, изразяваме перимеръра с х и S, правим първа прозиводна на периметъра и намираме минималната стойност, така намираме х и доказваме задачата


Още един бъдещ асистент във фми. Този път няма да коментирам...

А иначе може с Херон. [tex]S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\leq \sqrt{p(\frac{p-a + p-b + p-c}{3})^{3}}=\sqrt{p\frac{p^{3}}{27}}=\frac{p^{2}}{3\sqrt{3}}[/tex]
Където сме използвали неравенството между средно-аритметично и средно аритметично за числата p-a, p-b и p-c.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Is it black or white?
Напреднал


Регистриран на: 03 Jan 2009
Мнения: 393
Местожителство: Силистра ПМГ
Репутация: 38.2Репутация: 38.2Репутация: 38.2Репутация: 38.2
гласове: 32

МнениеПуснато на: Sat Feb 07, 2009 5:58 pm    Заглавие:

Логичния отговор на моя коментар е да се обясни къде ми е грешката щом коментарите са ви от такова естество, но не мисля че някой ще си направи този труд ...
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Baronov
Напреднал


Регистриран на: 05 Jun 2008
Мнения: 316

Репутация: 55.4
гласове: 39

МнениеПуснато на: Sat Feb 07, 2009 6:45 pm    Заглавие:

Ок. Не можеш да изразиш периметъра и лицето само с едно неизвестно. Ще ти трябват поне 3. И в такъв случай ще ти трябва някаква техника за намиране на максимум на функция на много променливи. Нещо като теоремата на Вайерщрас за което стана дума по-горе или множители на Лагранж. Сметките са гадни.
Иначе нямаш грешка.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Is it black or white?
Напреднал


Регистриран на: 03 Jan 2009
Мнения: 393
Местожителство: Силистра ПМГ
Репутация: 38.2Репутация: 38.2Репутация: 38.2Репутация: 38.2
гласове: 32

МнениеПуснато на: Sat Feb 07, 2009 6:57 pm    Заглавие:

Благодаря много за обяснението
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
ганка симеонова
SUPER VIP


Регистриран на: 10 Jan 2008
Мнения: 5985
Местожителство: софия
Репутация: 618.5Репутация: 618.5Репутация: 618.5
гласове: 298

МнениеПуснато на: Mon Feb 09, 2009 9:12 am    Заглавие: Re: Минимален периметър

Baronov написа:

А иначе може с Херон. [tex]S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\leq \sqrt{p(\frac{p-a + p-b + p-c}{3})^{3}}=\sqrt{p\frac{p^{3}}{27}}=\frac{p^{2}}{3\sqrt{3}}[/tex]
Където сме използвали неравенството между средно-аритметично и средно аритметично за числата p-a, p-b и p-c.

Страхотно решение- кратко, ясно и точно Very Happy
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Volen Siderov
Редовен


Регистриран на: 21 Oct 2006
Мнения: 123

Репутация: 24.5Репутация: 24.5
гласове: 4

МнениеПуснато на: Sun Feb 15, 2009 1:15 am    Заглавие:

Баронов мисля 4е не си прав за предложението на Арчер.То е напълно обосновано.По следния начин: От всики триъгълници с даден периметър и страна а да се намери този с макс. лице. Тогава имаш ф-я на 1 неизвесно а именно f(x)=(p-a)(p-x)(a+x-p) чиято производна е 0 при x=y=b=c т.е. когато триъгълника е равнобедрен.След тoва решаваш кой от всички равнобедрени триъгълници с даден периметър има макс лице.По същия начин намираш че това е при a=b=c.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Baronov
Напреднал


Регистриран на: 05 Jun 2008
Мнения: 316

Репутация: 55.4
гласове: 39

МнениеПуснато на: Sun Feb 15, 2009 1:38 pm    Заглавие:

Volen Siderov написа:
Баронов мисля 4е не си прав за предложението на Арчер.То е напълно обосновано.По следния начин: От всики триъгълници с даден периметър и страна а да се намери този с макс. лице. Тогава имаш ф-я на 1 неизвесно а именно f(x)=(p-a)(p-x)(a+x-p) чиято производна е 0 при x=y=b=c т.е. когато триъгълника е равнобедрен.След тoва решаваш кой от всички равнобедрени триъгълници с даден периметър има макс лице.По същия начин намираш че това е при a=b=c.


Да, ама така използваш т-мата на Вайерщрас, която се опитваме да избегнем.
Иначе това е решение,
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Volen Siderov
Редовен


Регистриран на: 21 Oct 2006
Мнения: 123

Репутация: 24.5Репутация: 24.5
гласове: 4

МнениеПуснато на: Tue Mar 03, 2009 11:12 pm    Заглавие:

Мислех си за 1 друга зада4а и оттам излезе тва според мен интересно решение на зад. за макс. лице при зададен периметър.И така ако имаме периметър p на произв, триъгълник може да се разсъждава така:избираме(фиксираме) произволна<p/2 дължина на страната а.Тогава сбора на другите 2 страни е p-a=const.Тогава ако вземем а за междуфокусно разтояние и център да кажем средата на а то върховете на вси4ки възможни триъгълници лежат на така образуваната елипса.Този с макс. лице ще е при макс. висо4ина тоест при равнобедрен.Отук зада4ата може лесно да се реши оба4е аз предлагам да се повтори същата операция когато междуфокусното разтояние е бедрото .После с новото така полу4ено бедро и т.н. до безкраиност.Тогава имаме съответно за дължината на бедрата:
b1=(p-a)/2
b2=(p-b1)/2=p/2-p/4+a/4
b3=(p-b2)/2=p/2-p/4+p/8-a/8
.
.
bn=p/2-p/4+p/8-p/16+...........(-1^n)a/2^n=p/4+p/16+p/32+....+(-1)^n a/2^n
При такова деиствие всеки път ще получаваме по-голямо лице от предното затова взимаме n да е безкрайност.тогава тази геометри4на сума ще е
S=p(1/4 / (1-1/4) )=p/3=bn
т.е. триъгълника клони към равностранен
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Математика за 11-12 клас, Кандидат-студенти Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
Може да прикачвате файлове
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2021 math10.com.