3 in 1

[ганка симеонова]

Лицето на основата, лицето на околната повърхнина и лицето на пълната повърхнина на правилна триъгълна пирамида, взети в този ред образуват аритметична прогресия.
а) Да се намери големината на двустенния ъгъл, определен от околна стена и основата на пирамидата.
б) В пирамидата са вписани прави кръгови цилиндри така, че долната основа на всеки цилиндър лежи в равнината на основата на пирамидата, а горната му основа има точно по една обща точка с всяка от околните стени. Ако основният ръб на пирамидата е а, да се намери радиусът на основата на този вписан в пирамидата цилиндър, който има най- голям обем.

[Реклама]

[NoThanks]

аз получих 60 градуса и [tex]R=\frac{a}{3\sqrt{3}}[/tex].

[Spider Iovkov]

Нека дадената правилна триъгълна пирамида да е [tex]ABCM[/tex] с основа равностранния [tex]\triangle ABC[/tex] и с връх [tex]M[/tex]. С [tex]B, S_{ok}, S_{1}[/tex] да означим съответно лицето на основата на пирамидата, околната повърхнина и пълната повърхнина. Нека също така [tex]AB=BC=AC=a, AM=BM=CM=b[/tex]. Една по една ще пресметнем трите величини, образуващи аритметична прогресия.
[tex]B=\frac{AC.BC.\sin60^\circ}{2} \Leftrightarrow \fbox {B=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}}[/tex]
[tex]S_{\triangle ABM}=\frac{AB.MK}{2}, MK\bot AB[/tex]. От [tex]AM=BM \Rightarrow AK=BK=\frac{a}{2}[/tex]. От правоъгълния [tex]\triangle AKM \Rightarrow AK^2+MK^2=AM^2 \Leftrightarrow (\frac{a}{2})^2+MK^2=b^2 \Leftrightarrow MK^2=b^2-\frac{a^2}{4} \Leftrightarrow MK=\frac{\sqrt{4b^2-a^2}}{2}[/tex]. В такъв случай [tex]S_{\triangle ABM}=\frac{a\sqrt{4b^2-a^2}}{4}[/tex]. Но [tex]\triangle ABM \simeq \triangle BCM \simeq \triangle ACM \Rightarrow S_{\triangle ABM}=S_{\triangle BCM}=S_{\triangle ACM} \Rightarrow S_{ok}=3S_{\triangle ABM} \Leftrightarrow \fbox {S_{ok}=\frac{3a\sqrt{4b^2-a^2}}{4}}[/tex].
От последното определяме [tex]S_{1}=B+S_{ok} \Leftrightarrow \fbox {S_{1}=\frac{a^2\sqrt{3}+3a\sqrt{4b^2-a^2}}{4}}[/tex].
Сега се връщаме към първоначалното условие, а именно, че [tex]B, S_{ok}, S_{1}[/tex], взети в този ред, образуват аритметична прогресия. Тогава от свойството на аритметичната прогресия получаваме
[tex]S_{ok}=\frac{B+S_{1}}{2} \Leftrightarrow \frac{3a\sqrt{4b^2-a^2}}{\cancel 4}=\frac{a^2\sqrt{3}+a^2\sqrt{3}+3a\sqrt{4b^2-a^2}}{\cancel 4.2} \Leftrightarrow 6a\sqrt{4b^2-a^2}=2a^2\sqrt{3}+3a\sqrt{4b^2-a^2} \Leftrightarrow 3a\sqrt{4b^2-a^2}=2a^2\sqrt{3} \Leftrightarrow b^2=\frac{7a^2}{12}[/tex].
Понеже [tex]\triangle ABM[/tex] е равнобедрен, то неговата височина [tex]MK[/tex] ще разполовява основата му [tex]AB[/tex]. От друга страна, [tex]\triangle ABC[/tex] е равностранен и в такъв случай височината му през върха [tex]C[/tex] също ще разполовява отсечката [tex]AB[/tex], тоест двете височини имат обща точка. Тогава [tex]\angle MKC[/tex] е търсеният двустенен ъгъл. Да го обозначим условно [tex]\angle MKC=\varphi [/tex]. Намирането на числената стойност на ъгъла се свежда до определянето на някоя от неговите тригонометрични функции, например косинус. Да построим височината [tex]MO[/tex] на пирамидата. Тъй като тя е правилна триъгълна, то върхът се проектира в центъра на вписаната и описаната окръжност (тъй като те съвпадат) и в медицентъра. Отсечката [tex]CK[/tex] е не само височина, но и медиана и [tex]CO:OK=2:1[/tex]. Ясно е, че [tex]\angle MOK=90^\circ \Rightarrow \cos\varphi=\frac{OK}{MK}[/tex]. Като отчетем, че височината [tex]CK=\frac{a\sqrt{3}}{2}[/tex], [tex]OK=\frac{1}{3}CK \Leftrightarrow OK=\frac{a\sqrt{3}}{6}[/tex] и [tex]MK=\frac{a\sqrt{3}}{3}[/tex], окончателно определяме [tex]\cos\varphi=\frac{OK}{MK} \Leftrightarrow \cos\varphi=\frac{\cancel {a\sqrt{3}}}{6}.\frac{3}{\cancel {a\sqrt{3}}} \Leftrightarrow \cos\varphi=\frac{3}{6} \Leftrightarrow \cos\varphi=\frac{1}{2} \Leftrightarrow \varphi=60^\circ[/tex].

[ганка симеонова]

Вярно, но много дълго.
След като [tex]B, S, S_1 [/tex] образуват аритметична прогресия и вземем предвид, че
[tex]S_1=S+B=>S=2B [/tex]
Т.к. всяка околна стена се проектира върху основата в триъгълник с върхове центъра на равностранния триъгълник и два от върховете му, то цялата околна повърхнина се проектира в/у основата.
=> [tex]cos\alpha =\frac{B}{ S} =\frac{B}{ 2B} =0,5=>\alpha=60^\circ [/tex]

EDIT. Какво става с второто условие?

[NoThanks]

Триъгълника SCM(S-среда на АB).
[tex]SK=SO-R = \frac{a\sqrt{3}}{6}-R[/tex]
[tex]\angle{KSF}=60 \; \angle{SKF}=90[/tex]
[tex]tg60 = \sqrt{3}=\frac{x}{\frac{a\sqrt{3}}{6}-R}[/tex]
[tex]x=\frac{a}{2}-R\sqrt{3}[/tex]
[tex]V=Bh = \pi R^2(\frac{a}{2}-R\sqrt{3})=f(R)[/tex]
[tex]f'(R)=\pi R(a-3R\sqrt{3})[/tex]
=> [tex]R = \frac{a}{3\sqrt{3}} = R_{max}[/tex]

[ганка симеонова]