Четирицифрен точен квадрат

[Пафнутий]

Нека числото [tex]n[/tex] да е четирицифрено и нека да е точен квадрат, като всяка от цифрите му е по-малка от 6.Ако към всяка от цифрите му добавим единица, то пак е точен квадрат. Да се намери [tex]n[/tex].

[Реклама]

[dim]

Нека търсеното число е [tex]\overline{abcd}=10^3a+10^2b+10c+d=x^2[/tex], тогава трябва [tex]10^3(a+1)+10^2(b+1)+10(c+1)+(d+1)=y^2[/tex]=> [tex]y^2=x^2+1111[/tex]<=>[tex](y-x)(y+x)=1111[/tex]. Оттук лесно се намира, че единственото число удволетворяващо условието е [tex]45^2=2025[/tex] ([tex]3136=56^2[/tex]).

[estoyanovvd]

И това с цифрите да са по-малки от шест, май не е необходимо? Просто е достатъчно да се каже, че при прибавяне на единицата новополученото число отново е четирицифрено.

[Пафнутий]

Проблемът е от младежка олимпиада до 15,5 години в Южна Америка.И аз не знам защо ни е нужно ограничението с 6.