Окръжността, минаваща през върховете А, В и ортоцентъра

[estoyanovvd]

Окръжността, минаваща през върховете А, В и ортоцентъра Н на остроъгълния триъгълник АВС, минава и през средите на страните АС и ВС на триъгълника. Ако М и К са петите на височините съответно през върховете А и В и АВ=12, да се пресметне дължината на отсечката МК.

Може да се реши с материал за 9-ти клас.

[Реклама]

[inimitably]

От свойството на секущите
=> ▲[tex]ABC (AC=BC)[/tex]
=> ▲MKC~▲ABC [tex](k=cos\angle ACB[/tex])
=>[tex]MK=AB.cos\angle ACB[/tex]
Построяваме CH (височина в ▲ABC) , тогава [tex]MH=KH=AB/2[/tex],
тогава пак изразяме МК по cosT в ▲MKH и така вече се предполага ,че можем да открием ъглите в триъгълника.Предварително се извинявам ако бъркам(често ми се случва)
Някой да каже ако е вярно да напиша цялото решение

[estoyanovvd]

Това е чертежът. Трябва да използвате все пак, че ортоцентърът лежи върху окръжността, нали?

[inimitably]

Ако [tex]\angle ACB=[/tex]180-2α , то [tex]\angle AB1B=[/tex]2α и [tex]\angle BB1C=[/tex]180-2α(като съседен)
=> [tex]\Delta BB1C[/tex] - равнобедрен
=>[tex]cos\angle ACB=CK/AC[/tex], но [tex]CK=AC/4=BC/4[/tex]
=>[tex] cos\angle ACB=1/4[/tex]
=>[tex]MK=AB.cos\angle ACB=12.1/4=3[/tex]

[r2d2]

inimitably, ти си стигнал до Рим и не си видял папата!
Щом [tex]\Delta BB_1C [/tex]e равнобедрен...