Задача по геометрия

[dessitka]

Даден е правоъгълник ABCD в които дължините на страните АB и BC се отнасят както 3:2 . Нека т. М е от АВ така че АМ=2МВ, а т. N е среда на AD:
а) ако т. Р е среда на МС и ВР=2см. Намерете дължините на отсечките МС и МN.
b) докажете че <МСВ + <NCD=45 градуси <NСD е по малък от 15 градус.

БЛАГОДАРЯ МНОГО!!!

[Реклама]

[M_Velinova]

Надявам се да е ясно.

[mousehack]

Аз пък си мисля че тава дали тоя ъгъл е по-малък от 15 градуса може да се докаже и със знания до седми клас,просто защото аз я бях решавал тази задача точно тогава.

[M_Velinova]

Ами сети се и го напиши, интересно ще е.

[Is it black or white?]

mousehack е прав, тук не ти трябват такива тригонометрични преобразования, макар, че твоя начин, vel, признавам е много хубав, даже мн повече ми допада.
Но нещата са далече по-прости, ще използвам чертежа ти
Да приемем, че това което искаме да докажем е вярно, от където следва, че [tex]\angle MCN[/tex] е [tex]45^\circ [/tex], или другояче казано доказваме, че [tex]\angle MCN[/tex] е [tex]45^\circ [/tex]. Като направим питагоровите теореми в триъгълниците [tex] MBC [/tex] [tex] AMN [/tex] и [tex] NCD [/tex], както ти си направил, получаваме, че триъгълник [tex] MCN [/tex] е равнобедрен, тоест и [tex]\angle MNC [/tex] е [tex]45^\circ [/tex], a [tex] NMC=90^\circ [/tex], правим [tex] sin(\angle MNC)=\frac{MC}{NC} [/tex] и виждаме, че е вярно, тоест триъглника наистина ни е правоъгълен, равнобедрен, това доказва, че това, което отначалото приехме за вярно, тоест това, което трябва да докажем, наистина е вярно.
За първата подточка получавам [tex] MC=MN=4 [/tex]. Използвам формулата за медиана:
[tex]m_{c}=\sqrt{\frac{2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}{4}}[/tex]
[tex]2=\frac{\sqrt{5}x }{2 }[/tex]
[tex]x=\frac{4}{\sqrt{5}} [/tex]
[tex]MC=x\sqrt{5}=\frac{4}{\sqrt{5}}.\sqrt{5}=4 [/tex]

[M_Velinova]

Да за тези конкретни данни няма нужда от никаква тригонометрия.
Даже ще си позволя да оптимизирам още.
[tex]\Delta NAM\approx \Delta MBC[/tex] правоъгълни. Оттук следва, че [tex]\Delta NMD[/tex] е равнобедрен и правоъгълен, следва още, че сборът е [tex]45^o[/tex].

Но сега забелязах и друго, че ъгълът NCD e по-голям от 15 градуса. Това също ставало за 7 клас.

[Is it black or white?]

Да, разбира се, тригонометрични зависимости в правоъгълен триъгълник и виждаме, че тригонометричната функция (sin, cos, tg, cotg, която си избереш) получава такава стойност, отговаряща на ъгъл по-голям от 15 градуса.

[M_Velinova]

Да.

[dessitka]

Много ви благодаря на всички за голямата помощ!!!