Равнобедрен триъгълник

[NoThanks]

Даден е равнобедрен 3ъгълник ABC с бедра AC и BC и ъгъл м/у тях 20°. Правите g1 и g2 минават съответно през A и B и пресичат бедрата BC и AC съответно в P и Q, като ъглите BAP и ABQ имат съответно големини 50° и 60°. Да се намери големината на ъгъл BQP

[Реклама]

[Nona]

Точките А₁ и В₁ са симетрични съответно на А и В спрямо ВС и АС. ▲А₁В₁С е равностранен и <ВА₁В₁=20^о, <В₁А₁Р=30^о=<РА₁С и РА₁ е ъглополовяща на <В₁А₁С.
CQ=B₁Q, значи Q лежи на симетралата на СВ₁, която е и ъглополовяща на <В₁А₁С (▲А₁В₁С е равностранен). Точките А₁, Р и Q лежат на една права. От ▲ВА₁Q лесно намираме, че <BQP=30^o.

[Nona]

BL - ъглополовяща на <АВС => QB - ъглополовяща на <LВС. ▲ABL≈▲PBL => <ALB=<BLP=60^o=<PLQ => Q - център на външновписаната окръжност на ▲BLP => QP - ъглополовяща на <LPС.

<QPC = (180^o - <LPB)/2 = 50^o = <BQP +<QBP.

[Nona]

[tex]T: \ \ T\in AC, \ \angle ABT=20^\circ \\ \angle PAB = \angle APB = 50^\circ \Rightarrow AB=PB=TB \Rightarrow \triangle TPB\cyr{ - ravnostranen} \\ \angle TQB = \angle QBT=40^\circ \Rightarrow TQ=TB=TP \\ \Rightarrow \angle PQT=\angle QPT = \frac{\angle ATP}{2}=70^\circ[/tex]

[r2d2]

http://www.cut-the-knot.org/triangle/80-80-20/IndexToClassical.shtml

[estoyanovvd]

Страхотен сайт!!! Благодаря!!!